Descubra e prove por indução a fórmula para a soma dos primeiros números impares inteiros positivos.

A soma dos n primeiros números ímpares é dada por S(n)=1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1)= n²

S(1) = 1² = 1 é verdadeira. 

Partindo da veracidade de S(n) vamos obter S(n +1):

S(n+1) = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n – 1) + [2(n+1) – 1]

Usando a hipótese de indução S(n) = n² e substituindo na expressão acima fica:

S(n+1) = n² + [2(n+1) – 1] = n² + 2n + 2 – 1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)²

Ora, S(n+1) = (n + 1)² é a mesma fórmula para (n + 1).

Logo, a fórmula dada é válida para todo n natural.

Nesse exercício vamos estudar o princípio da indução finita.

Chamemos a função que procuramos de:

"$$S(n)=1+3+cdots+(2n-1)$$"

Vamos verificar os resultados para alguns valores de $n$:

"$$S(1) = 1$$"

"$$S(2) = S(1)+3 = 4 = 2^2$$"

"$$S(3) = S(2)+5=9=3^2$$"

Pelos testes, parece que $S(n)=n^2$. Vamos então provar pelo princípio da indução finita. Por hipótese, temos:

"$$S(k) = 1+3+cdots+(2k-1) = k^2$$"

Para a tese:

"$$S(k+1)= 1+3+cdots+(2k+1)=(k+1)^2$$"

Partindo do lado esquerdo da tese e usando o hipótese, vamos chegar ao lado direito:

"$$S(k+1) =1+3+cdots+(2k+1)=S(k)+2k+1=k^2+2k+1=(k+1)^2$$"

Provamos, então, que:

"$$oxed{S(n)=1+3+cdots+(2n-1)=n^2}$$"

Nesse exercício vamos estudar o princípio da indução finita.

Chamemos a função que procuramos de:

$$S(n)=1+3+\cdots+(2n-1)$$

Vamos verificar os resultados para alguns valores de $n$:

$$S(1) = 1$$

$$S(2) = S(1)+3 = 4 = 2^2$$

$$S(3) = S(2)+5=9=3^2$$

Pelos testes, parece que $S(n)=n^2$. Vamos então provar pelo princípio da indução finita. Por hipótese, temos:

$$S(k) = 1+3+\cdots+(2k-1) = k^2$$

Para a tese:

$$S(k+1)= 1+3+\cdots+(2k+1)=(k+1)^2$$

Partindo do lado esquerdo da tese e usando o hipótese, vamos chegar ao lado direito:

$$S(k+1) =1+3+\cdots+(2k+1)=S(k)+2k+1=k^2+2k+1=(k+1)^2$$

Provamos, então, que:

$$\boxed{S(n)=1+3+\cdots+(2n-1)=n^2}$$