Dada a EDO abaixo, de um sistema L.I.T, determine a sua transformada de Laplace.

\(6x^{\prime}(t)+5x(t)=1\), sendo \(x(0)=6\)

Ora, aplicando a transformada de Laplace, temos que:

\(6sX(s)-\underbrace{6x(0)}_{36}+5X(s)=\frac{1}{s} \Rightarrow (6s+5)X(s)=\frac{1}{s}+36 \)

\(X(s)=\frac{36s+1}{s(6s+5)}\)

Por frações parciais, teremos:

\(X(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{6s+5}=\frac{36s+1}{s(6s+5)}\)

Desenvolvendo a igualdade:

\(6As+5A+Bs=36s+1\)

\(A=\frac{1}{5} \therefore B=\frac{174}{5}\)

Então:

\(X(s)=\frac{1}{5s}+\frac{174}{5(6s+5)}=\frac{1}{5s}+\frac{29}{5(s+\frac{5}{6})}\)

Portanto:

\(x(t)=\frac{1}{5}+\frac{29}{5}e^{-\frac{5}{6}t}\)

Note que \(x(0)=\frac{1}{5}+\frac{29}{5}=\frac{30}{5}=6\)

Vamos utilizar as seguintes equações para a resolução do problema dado:

Escrevendo a equação e aplicando L dos dois lados obtemos:

Utilizando as equações acima e substituindo o valor de x [0] dado, obtemos:

Usaremos agora o método das frações parciais para simplificar o termo :

Substituindo temos:

Utilizaremos agora a transformada inversa de Laplace dos dois lados da igualdade, obtemos:

Por fim, usando as relações do início teremos o valor de x[t]:

Vamos utilizar as seguintes equações para a resolução do problema dado:

Escrevendo a equação e aplicando L dos dois lados obtemos:

Utilizando as equações acima e substituindo o valor de x [0] dado, obtemos:

Usaremos agora o método das frações parciais para simplificar o termo :

Substituindo temos:

Utilizaremos agora a transformada inversa de Laplace dos dois lados da igualdade, obtemos:

Por fim, usando as relações do início teremos o valor de x[t]: