Considere a funçao z=xy^2/x^2+y^2 verifique que x* dz/dx+y*dz/dy=z

Não sei se já foi resolvido, mas estava procurando também e não encontrei, então resolvi e está aí para quem precisar.

https://scontent-mia1-2.xx.fbcdn.net/v/t34.0-12/14798819_1194786540544148_1067788296_n.jpg?oh=13622015497f68988321f4aeb7761bc9&oe=580C3283

posta o link de novo

Seja:

\(z = \frac{xy^2}{x^2} + y^2 = \frac{y^2}{x} + y^2\)

Faremos primeiro as derivadas parciais:

\(\frac{dz}{dx} = -\frac{y^2}{x^2} \\ \frac{dz}{dx} = \frac{2xy + 2y}{x} \\\)

A expressão pedida será, portanto:

\(x( -\frac{y^2}{x^2}) + y(\frac{2xy + 2y}{x}) = -\frac{y^2}{x} + \frac{2xy^2 + 2y^2}{x} \\ x( -\frac{y^2}{x^2}) + y(\frac{2xy + 2y}{x}) = \frac{2xy^2 + y^2}{x} \\ x( -\frac{y^2}{x^2}) + y(\frac{2xy + 2y}{x}) = \frac{ y^2}{x} + 2y^2\)

Perceba que não se obteve exatamente a função original. Há algum problema no enunciado.