Como a origem do novo sistema foi transladado para \((1;2)\) no sistema original, sem a ocorrência de rotação (eixos paralelos aos originais), temos que um ponto de coordenadas \((x,y)\) no sistema XOY, terá coordenadas \((u,v)=(x-1,y-2)\) no sistema UAV. Para determinar a nova equação da reta, basta reescrevê-la nessas novas variáveis:

\(y=x\)

Adicionando e removendo a constante necessária de cada lado da equação, temos:

\(y-2+2=x-1+1\)

Fazendo a mudança de variáveis como descrito no começo da resolução, temos:

\(v+2=u+1\)

Simplificando, temos:

\(\boxed{v=u-1}\)