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dentre as transformações T: R² -> R² definidas pelas seguintes leis, defina quais são lineares T(x,y) = (X-3y,2x+5y)

💡 5 Respostas

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Lucca Araujo Campos

u = (x1 , y1)

v = (x2 , y2)

(u+v) = (x1+x2 , y1+y2)

(Au) = (A x1 , A y1), onde A representa um escalar

T(u) = (x1 - 3 y1 , 2 x1 + 5 y1)

T(v) = (x2 - 3 y2 , 2 x2 + 5 y2)

T(u+v) =  ((x1+x2) - 3(y1+y2) , 2(x1+x2) + 5(y1+y2))

T(Au) = (A x1 - 3A y1 , 2A x1 + 5A y1)

para uma transformação ser linear, deve obedecer as seguintes ordens:

1)T(u+v)= T(u) + T(v)

2)T(Xu) = A T(u), onde A representa um escalar

sabendo isso, resolvemos:

1) T(u+v)= T(u) + T(v)

((x1+x2) - 3(y1+y2) , 2(x1+x2) + 5(y1+y2)) = (x1 - 3 y1 , 2 x1 + 5 y1) +   (x2 - 3 y2 , 2 x2 + 5 y2)

((x1+x2) - 3(y1+y2) , 2(x1+x2) + 5(y1+y2)) = ((x1 - 3y1) + (x2 - 3 y2) , (2 x1 + 5 y1) + (2 x2 + 5 y2))

((x1+x2) - 3(y1+y2) , 2(x1+x2) + 5(y1+y2)) = (x1 + x2 - 3 y1 - 3 y2 , 2 x1 + 2 x2 + 5 y1 + 5 y2)

((x1+x2) - 3(y1+y2) , 2(x1+x2) + 5(y1+y2)) = ((x1+x2) - 3(y1+y2) , 2(x1+x2) + 5(y1+y2))

obedece a primeira ordem!

2) T(Xu) = A T(u)

(A x1 - 3A y1 , 2A x1 + 5A y1) = A (x1 - 3 y1 , 2 x1 + 5 y1)

(A x1 - 3A y1 , 2A x1 + 5A y1) = (A (x1 - 3 y1) , A (x1 - 3 y1))

(A x1 - 3A y1 , 2A x1 + 5A y1) = (A x1 - 3A y1 , 2A x1 + 5A y1)

obedece tambem a segunda ordem!

por obedecer as duas ordens, dizemos que essa transformação, é uma transformaçao linear!

 

 

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Andre Smaira

Para responder essa pergunta devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Álgebra Linear.


Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T:V \rightarrow W é chamada de transformação linear de V em W se atender a dois requisitos:

  1. T(u + v) = T(u) + T(v)

  2. T(Ku) = KT(u)

  3. Definidos os dois requisitos, será aplicado os teoremas no problema proposto:

  4. Desta forma, utilizando as seguintes variáveis:

  5. Aplicando as variáveis no primeiro teorema, têm-se:

  6. Comprovando que para o primeiro requisito, a transformação é linear.

  7. Já para o segundo requisito, têm-se:

  8. Utilizando a seguinte variável da mesma forma que foi realizado no primeiro requisito:

  9. Aplicando a variável no segundo requisito, têm-se:

  10. Comprovando que para o segundo e último requisito, a transformação é linear.


Portanto, para a transformação solicitada - - foi comprovado matematicamente que é uma transformação linear.

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Andre Smaira

Para responder essa pergunta devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Álgebra Linear.


Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T:V \rightarrow W é chamada de transformação linear de V em W se atender a dois requisitos:

  1. T(u + v) = T(u) + T(v)

  2. T(Ku) = KT(u)

  3. Definidos os dois requisitos, será aplicado os teoremas no problema proposto:

  4. Desta forma, utilizando as seguintes variáveis:

  5. Aplicando as variáveis no primeiro teorema, têm-se:

  6. Comprovando que para o primeiro requisito, a transformação é linear.

  7. Já para o segundo requisito, têm-se:

  8. Utilizando a seguinte variável da mesma forma que foi realizado no primeiro requisito:

  9. Aplicando a variável no segundo requisito, têm-se:

  10. Comprovando que para o segundo e último requisito, a transformação é linear.


Portanto, para a transformação solicitada - - foi comprovado matematicamente que é uma transformação linear.

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