Encontrar os valores extremos de f(x, y) = x² + 3y² + 2y sobre o disco unitário x² + y² ≤ 1.
💡 4 Respostas
Pollyana Brandão
Faz por teorema de lagrange usando a restrição x²+y² - 1 = 0 para achar os pontos da fronteira. E o interior do circulo acha os pontos criticos igualando o gradiente de f(x,y) a (0,0) e por Hessiano classifica.
RD Resoluções
Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para encontrar os valores extremos da função 
sobre o disco 
de raio unitário.
1 – No interior do disco:
Para encontrar o ponto crítico de 
, devem ser atendidas as seguintes equações:
Aplicando as derivadas parciais, tem-se o seguinte:
Portanto, o ponto 
é um ponto crítico de 
.
Substituindo o ponto 
em 
, tem-se o seguinte:
Tem-se que o ponto crítico 
está no interior do disco 
. Portanto, ele é um candidato a ponto máximo - ou mínimo – absoluto de 
.
2 – Na fronteira do disco:
De acordo com a expressão do disco unitário, pode-se escrever a seguinte equação:
Substituindo a equação 
em 
, o valor de 
fica limitado no interval 
. Com isso, a equação resultante é:
Agora, deve-se achar os valores de 
, para 
, que maximizam - ou minimizam - a função 
.
A função 
diz respeito a uma parábola com concavidade voltada para cima. Portanto, possui um ponto mínimo 
. Com isso, o valor de 
é:
Como a concavidade de 
é voltada para cima, o valor de 
é ou 
ou 
. Substituindo esses valores em 
, tem-se o seguinte:
Como 
, o valor de 
é 
.
Pela equação 
, os valores de 
e 
são:
3 – Teste dos pontos encontrados:
Com isso, os pontos candidatos a ponto máximo - ou mínimo – absoluto de 
são:
Calculando 
para todos os quatro pontos candidatos, tem-se o seguinte:
Pelos valores encontrados, os valores extremos de 
são:
Concluindo, os valores extremos da função 
sobre o disco unitário 
são:
Andre Smaira
Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para encontrar os valores extremos da função 
sobre o disco 
de raio unitário.
1 – No interior do disco:
Para encontrar o ponto crítico de 
, devem ser atendidas as seguintes equações:
Aplicando as derivadas parciais, tem-se o seguinte:
Portanto, o ponto 
é um ponto crítico de 
.
Substituindo o ponto 
em 
, tem-se o seguinte:
Tem-se que o ponto crítico 
está no interior do disco 
. Portanto, ele é um candidato a ponto máximo - ou mínimo – absoluto de 
.
2 – Na fronteira do disco:
De acordo com a expressão do disco unitário, pode-se escrever a seguinte equação:
Substituindo a equação 
em 
, o valor de 
fica limitado no interval 
. Com isso, a equação resultante é:
Agora, deve-se achar os valores de 
, para 
, que maximizam - ou minimizam - a função 
.
A função 
diz respeito a uma parábola com concavidade voltada para cima. Portanto, possui um ponto mínimo 
. Com isso, o valor de 
é:
Como a concavidade de 
é voltada para cima, o valor de 
é ou 
ou 
. Substituindo esses valores em 
, tem-se o seguinte:
Como 
, o valor de 
é 
.
Pela equação 
, os valores de 
e 
são:
3 – Teste dos pontos encontrados:
Com isso, os pontos candidatos a ponto máximo - ou mínimo – absoluto de 
são:
Calculando 
para todos os quatro pontos candidatos, tem-se o seguinte:
Pelos valores encontrados, os valores extremos de 
são:
Concluindo, os valores extremos da função 
sobre o disco unitário 
são:
Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto
Esse e outros conteúdos desbloqueados
16 milhões de materiais de várias disciplinas
Impressão de materiais
Agora você pode testar o
Passei Direto grátis
✏️ Responder
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta
Perguntas relacionadas
Materiais relacionados
2 pág.
4 pág.
Compartilhar