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Algebra linear(escalonamento)

 resolva o sistema de equações lineares abaixo:

-3y+5z=1

2x+3y+4z=0

x -y - 3z=0


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Neste exercício, será utilizado o método do escalonamento para resolver um sistema de equações. Esse sistema está apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 ​​​& (I)\\ x-y-3z=0 & (II)\\ -3y+5z=1 & (III) \end{matrix} \right.\)


O método do escalonamento consiste em somar as equações adequadamente até isolar uma das variáveis.


Primeiro, deve-se eliminar a variável \(x\) das linhas \((II)\) e \((III)\). Como a linha \((III)\) já está sem \(x\), resta a linha \((II)\). Para isso, essa linha será multiplicada por 2, conforme apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 ​​​& (I)\\ 2x-2y-6z=0 & (II)\\ -3y+5z=1 & (III) \end{matrix} \right.\)


Realizando a operação \((I)-(II)\), a nova linha \((II)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 ​​​& (I)\\ 5y+10z=0 & (II)\\ -3y+5z=1 & (III) \end{matrix} \right.\)


Agora, deve-se eliminar a variável \(y\) da linha \((III)\). Para isso, essa linha será multiplicada por \({5 \over 3}\), conforme apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 ​​​& (I)\\ 5y+10z=0 & (II)\\ -{5 \over 3}3y+{5 \over 3}5z={5 \over 3}1 & (III) \end{matrix} \right.\)     \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 ​​​& (I)\\ 5y+10z=0 & (II)\\ -5y+{25 \over 3}z={5 \over 3} & (III) \end{matrix} \right.\)


Realizando a operação \((II)+(III)\), a nova linha \((III)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 ​​​& (I)\\ 5y+10z=0 & (II)\\ {55 \over 3}z={5 \over 3} & (III) \end{matrix} \right.\)


A variável \(z\) foi isolada na linha \((III)\). Portanto, seu valor é:

\(\Longrightarrow {55 \over 3}z={5 \over 3}\)

\(\Longrightarrow z={5 \over 3} {3 \over 55}\)

\(\Longrightarrow z={1 \over 11}\)


Substituindo o valor de \(z\) na linha \((II)\), o valor de \(y\) é:

\(\Longrightarrow 5y+10z=0\)

\(\Longrightarrow 5y+{10 \over 11}=0\)

\(\Longrightarrow y=-{10 \over 11}{1 \over 5}\)

\(\Longrightarrow y=-{2 \over 11}\)


Finalmente, substituindo os valores de \(y\) e \(z\) na linha \((I)\), o valor de \(x\) é:

\(\Longrightarrow 2x+3y+4z=0\)

\(\Longrightarrow 2x+3\Big (-{2 \over 11} \Big )+4{1 \over 11} =0\)

\(\Longrightarrow 2x- {6 \over 11}+{4 \over 11} =0\)

\(\Longrightarrow 2x={2 \over 11}\)

\(\Longrightarrow x={1 \over 11}\)


Concluindo, por escalonamento, a solução do sistema de equações é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} x = {1 \over 11}\\ y = -{2 \over 11}\\ z = {1 \over 11} \end{matrix} \right. $}\)

Neste exercício, será utilizado o método do escalonamento para resolver um sistema de equações. Esse sistema está apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 ​​​& (I)\\ x-y-3z=0 & (II)\\ -3y+5z=1 & (III) \end{matrix} \right.\)


O método do escalonamento consiste em somar as equações adequadamente até isolar uma das variáveis.


Primeiro, deve-se eliminar a variável \(x\) das linhas \((II)\) e \((III)\). Como a linha \((III)\) já está sem \(x\), resta a linha \((II)\). Para isso, essa linha será multiplicada por 2, conforme apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 ​​​& (I)\\ 2x-2y-6z=0 & (II)\\ -3y+5z=1 & (III) \end{matrix} \right.\)


Realizando a operação \((I)-(II)\), a nova linha \((II)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 ​​​& (I)\\ 5y+10z=0 & (II)\\ -3y+5z=1 & (III) \end{matrix} \right.\)


Agora, deve-se eliminar a variável \(y\) da linha \((III)\). Para isso, essa linha será multiplicada por \({5 \over 3}\), conforme apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 ​​​& (I)\\ 5y+10z=0 & (II)\\ -{5 \over 3}3y+{5 \over 3}5z={5 \over 3}1 & (III) \end{matrix} \right.\)     \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 ​​​& (I)\\ 5y+10z=0 & (II)\\ -5y+{25 \over 3}z={5 \over 3} & (III) \end{matrix} \right.\)


Realizando a operação \((II)+(III)\), a nova linha \((III)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 ​​​& (I)\\ 5y+10z=0 & (II)\\ {55 \over 3}z={5 \over 3} & (III) \end{matrix} \right.\)


A variável \(z\) foi isolada na linha \((III)\). Portanto, seu valor é:

\(\Longrightarrow {55 \over 3}z={5 \over 3}\)

\(\Longrightarrow z={5 \over 3} {3 \over 55}\)

\(\Longrightarrow z={1 \over 11}\)


Substituindo o valor de \(z\) na linha \((II)\), o valor de \(y\) é:

\(\Longrightarrow 5y+10z=0\)

\(\Longrightarrow 5y+{10 \over 11}=0\)

\(\Longrightarrow y=-{10 \over 11}{1 \over 5}\)

\(\Longrightarrow y=-{2 \over 11}\)


Finalmente, substituindo os valores de \(y\) e \(z\) na linha \((I)\), o valor de \(x\) é:

\(\Longrightarrow 2x+3y+4z=0\)

\(\Longrightarrow 2x+3\Big (-{2 \over 11} \Big )+4{1 \over 11} =0\)

\(\Longrightarrow 2x- {6 \over 11}+{4 \over 11} =0\)

\(\Longrightarrow 2x={2 \over 11}\)

\(\Longrightarrow x={1 \over 11}\)


Concluindo, por escalonamento, a solução do sistema de equações é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} x = {1 \over 11}\\ y = -{2 \over 11}\\ z = {1 \over 11} \end{matrix} \right. $}\)

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Roberta

Há mais de um mês

Escalonar significa distribuir por etapas, distribuir por grupos, de forma que facilite a resolução do sistema. Para resolver esse problema, você deve:

- Multiplicar todos os elementos da equação por uma constante não nula;

- Substituir uma equação do sistema pela soma dela com outra; 

- Substituir uma linha da equação por outra.

 

x -y - 3z=0

-3y+5z=1

2x+3y+4z=0

Vou organizar em forma de matriz esse sistema para ficar mais organizado, mas se achar melhor, pode deixar como sistema mesmo ;)

 

1  -1  3 ι 0    (Linha1)

0  -3  5  ι 1   (Linha2)

2   3  -4  ι 0  (Linha3) 

 

→ -2L1 + L3 e substitua apenas em L3, e assim, você terá menos uma incógnita.

1  -1  3 ι 0    

0  -3  4  ι 1 

0  5  10 ι 0

 

→ 5(L2) + 3(L3) e substitua em L3.

1  -1  3 ι 0    

0  -3  5  ι 1

0  0  55 ι 5

→Assim, o sistema fica:

x - y + 3 = 0

-3y + 5z  = 1

55z = 5

 

→ Agora fica fácil resolver todo o sistema

z=55/5= 11

__

-3y + 5.11 = 1

y=18

__

x - 18 + 3.11 = 0

x=51

 

Espero ter ajudado :)

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas