resolva o sistema de equações lineares abaixo:
-3y+5z=1
2x+3y+4z=0
x -y - 3z=0
Escalonar significa distribuir por etapas, distribuir por grupos, de forma que facilite a resolução do sistema. Para resolver esse problema, você deve:
- Multiplicar todos os elementos da equação por uma constante não nula;
- Substituir uma equação do sistema pela soma dela com outra;
- Substituir uma linha da equação por outra.
x -y - 3z=0
-3y+5z=1
2x+3y+4z=0
Vou organizar em forma de matriz esse sistema para ficar mais organizado, mas se achar melhor, pode deixar como sistema mesmo ;)
1 -1 3 ι 0 (Linha1)
0 -3 5 ι 1 (Linha2)
2 3 -4 ι 0 (Linha3)
→ -2L1 + L3 e substitua apenas em L3, e assim, você terá menos uma incógnita.
1 -1 3 ι 0
0 -3 4 ι 1
0 5 10 ι 0
→ 5(L2) + 3(L3) e substitua em L3.
1 -1 3 ι 0
0 -3 5 ι 1
0 0 55 ι 5
→Assim, o sistema fica:
x - y + 3 = 0
-3y + 5z = 1
55z = 5
→ Agora fica fácil resolver todo o sistema
z=55/5= 11
__
-3y + 5.11 = 1
y=18
__
x - 18 + 3.11 = 0
x=51
Espero ter ajudado :)
Neste exercício, será utilizado o método do escalonamento para resolver um sistema de equações. Esse sistema está apresentado a seguir:
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 & (I)\\ x-y-3z=0 & (II)\\ -3y+5z=1 & (III) \end{matrix} \right.\)
O método do escalonamento consiste em somar as equações adequadamente até isolar uma das variáveis.
Primeiro, deve-se eliminar a variável \(x\) das linhas \((II)\) e \((III)\). Como a linha \((III)\) já está sem \(x\), resta a linha \((II)\). Para isso, essa linha será multiplicada por 2, conforme apresentado a seguir:
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 & (I)\\ 2x-2y-6z=0 & (II)\\ -3y+5z=1 & (III) \end{matrix} \right.\)
Realizando a operação \((I)-(II)\), a nova linha \((II)\) é:
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 & (I)\\ 5y+10z=0 & (II)\\ -3y+5z=1 & (III) \end{matrix} \right.\)
Agora, deve-se eliminar a variável \(y\) da linha \((III)\). Para isso, essa linha será multiplicada por \({5 \over 3}\), conforme apresentado a seguir:
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 & (I)\\ 5y+10z=0 & (II)\\ -{5 \over 3}3y+{5 \over 3}5z={5 \over 3}1 & (III) \end{matrix} \right.\) \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 & (I)\\ 5y+10z=0 & (II)\\ -5y+{25 \over 3}z={5 \over 3} & (III) \end{matrix} \right.\)
Realizando a operação \((II)+(III)\), a nova linha \((III)\) é:
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2x+3y+4z=0 & (I)\\ 5y+10z=0 & (II)\\ {55 \over 3}z={5 \over 3} & (III) \end{matrix} \right.\)
A variável \(z\) foi isolada na linha \((III)\). Portanto, seu valor é:
\(\Longrightarrow {55 \over 3}z={5 \over 3}\)
\(\Longrightarrow z={5 \over 3} {3 \over 55}\)
\(\Longrightarrow z={1 \over 11}\)
Substituindo o valor de \(z\) na linha \((II)\), o valor de \(y\) é:
\(\Longrightarrow 5y+10z=0\)
\(\Longrightarrow 5y+{10 \over 11}=0\)
\(\Longrightarrow y=-{10 \over 11}{1 \over 5}\)
\(\Longrightarrow y=-{2 \over 11}\)
Finalmente, substituindo os valores de \(y\) e \(z\) na linha \((I)\), o valor de \(x\) é:
\(\Longrightarrow 2x+3y+4z=0\)
\(\Longrightarrow 2x+3\Big (-{2 \over 11} \Big )+4{1 \over 11} =0\)
\(\Longrightarrow 2x- {6 \over 11}+{4 \over 11} =0\)
\(\Longrightarrow 2x={2 \over 11}\)
\(\Longrightarrow x={1 \over 11}\)
Concluindo, por escalonamento, a solução do sistema de equações é:
\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} x = {1 \over 11}\\ y = -{2 \over 11}\\ z = {1 \over 11} \end{matrix} \right. $}\)
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta.
Compartilhar