Ângulos entre Planos!

Iniciamente se sabe que para os planos serem perpendiculares o produto dos vetores nulos de cada plano é igual a 0;

Pi1 = mx + y - 3z - 1 = 0, sendo o vetor normal n1 = (m, 1, -3)

Pi2 = 2x - 3my + 4z + 1 = 0, sendo o vetor normal n2 = (2, -3m, 4)

Sendo, n1 . n2 = 0

(m, 1, -3) . (2, -3m, 4) = 0

2m - 3m - 12 = 0

-m - 12 = 0

-m = 12 *(-1)

m = -12

a) 
π₁: mx + y - 3z - 1 = 0 
π₂: 2x - 3my + 3z + 1 = 0 

Vetor normal a π₁ ⇒ n₁ = (m, 1, -3) 
Vetor normal a π₂ ⇒ n₂ = (2, -3m, 3) 
.......................................... 

Para serem perpendiculares ⇒ 

n₁ . n₂ = 0 
(m, 1, -3) . (2, -3m, 3) = 0 
2m + (-3m) - 9 = 0 
2m - 3m = 9 
-m = 9 *(-1) 
m = -9

Quando dois planos são perpendiculares, podemos afirmar que, consequentemente, seus vetores normais também serão perpendiculares. No exercício as equações dos planos são:

\(P_1: mx + y-3z-1 =0\)

\(P_2:2x-3my+4z+1=0\)

Com essas equações podemos obter os vetores normais dos dois planos, respectivamente:

\(P_1: (m,1,-3)\)

\(P_2: (2,-3m,4)\)

Para testarmos se os vetores são perpendiculares podemos calcular o produto escalar entre eles. Caso o resultado seja 0 então poderemos afirmar que os vetores são perpendiculares. Como nesse caso queremos atribuir um valor para \(m\) para fazer com que os planos sejam perpendiculares, então iremos igualar a 0 o produto escalar desses vetores:

\((m,1,-3) \cdot (2,-3m,4)=0\)

\((m \cdot 2) + (1 \cdot (-3m)) + (-3 \cdot 4) = 0\)

\(2m -3m - 12 = 0\)

\(-m = 12\) 

\(m=-12\)

Podemos agora substituir o valor encontrado nos vetores normais e verificar se o valor encontrado satisfaz a regra para que os planos sejam perpendiculares:

\((-12,1,-3) \cdot (2,-3 \cdot (-12),4)\)

\((-12,1,-3) \cdot (2,36,4)\)

\((-12 \cdot 2) + (1 \cdot 36) + (-3 \cdot 4)\)

\(-36 + 36 = 0\)

Com o resultado sendo 0 podemos afirmar então que o valor encontrado para \(m\) satisfaz a regra. Assim o valor de \(m\) é:

\(m=-12\)