Metodo de Cramer

Joenny, o Método de Cramer é utilizado para resolução de sistemas lineares de equações. Vale lembrar que este método só se aplica para sistemas cujo o número de equações é igual ao número de incógnitas. Por exemplo:

X+2Y+Z=8

2X-Y+Z=3

3X+Y-Z=2

Observe que temos três incógnitas (X,Y,Z) e três equações, portanto, podemos utilizar o Método de Cramer.

Para encontrar os valores das incógnitas X,Y e Z faremos o seguinte:

X=Dx/D

Y=Dy/D

Z=Dz/D

Onde,

D => Matriz dos coeficientes do seu sistema.

Dx => Matriz dos coeficientes do seu sistema porém com a "coluna de X" trocada pelos termos independentes. (Isso é equivalente para Dy e Dz).

Do exemplo, temos que a matriz dos coeficientes do sistema é:

D = {(1,2,1);(2,-1,1);(3,1,-1)}

Então, D=15.

Agora você substitui o termo independente (aquele depois do sinal de = ) pela coluna da variável que você quer encontrar.

Vamos fazer para X:

Dx={(8,2,1);(3,-1,1);(2,1,-1)}

Então, Dx=15.

Fazendo Dx/D temos que a incógnita X do seu sistema vale 1.

Com o mesmo procedimento para Y e Z temos que:

Y = Dy/D = 2

Z = Dz/D = 3

Espero ter ajudado. 

Dado o sistema: 

2x + 8y = 0 
9x + 6y = 15 

A matriz incompleta desse sistema é: 

2      8 
9      6    

Onde o determinante é dado por D = 2*6 – 8*9 →12 – 72 → – 60 
D ≠ 0, então o sistema é possível e determinado. 

A solução desse sistema será dada por: 

x = Dx / D e y = Dy / D 

Onde Dx e Dy são obtidos trocando a coluna x ou a y (de acordo com a que está calculando) pela coluna dos termos independentes. Observe: 

Calculando Dx: 
 
 0         8 
15        6 


0*6 – 8*15 = – 120 

x = Dx / D = – 120/– 60 = 2 
x = 2 

Calculando Dy: 

2        0 
9       15 

2*15 – 0*9 = 30 

y = Dy / D = 30 / – 60 = – 0,5 
y = – 0,5 

Esse método é utilizado para obtermos a determinante de uma matriz quadrática, ou resolver um sistema linear onde existem n equações lineares com n incógnitas relacionadas entre si.

Para resolvermos uma determinante utilizando a regra de Cramer de acordo com o exemplo abaixo:

\(\begin{cases} x&-2y&-2z&=-1\\ x&-y&+z&=-2 \\ 2x&+y&+3z&=1 \end{cases}\)

Agora para resolver equações lineares podemos utilizar o esquema abaixo:

\(\textrm D=\begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -3-4-2+6-1=-8\)

\(\textrm D_x=\begin{vmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3-2+4-2-12+1=-8\)

\(\textrm D_y=\begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -6-2-2-8+3-1=-16\)

\(\textrm D_z=\begin{vmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -1+8-1-2+2+2=8\)

Perceba que o resultado dado pelo vetor \((-1,-2,1)\) vai alternando de coluna das determinantes em baixo.

Mais um exemplo:

\(x= \frac{\begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ -5 & 3 & 2 \end{vmatrix}} {-23}=\frac{-8-20-9+5-12-24}{-23}=\frac{-68}{-23}=\frac{68}{23} \)

\(y= \frac{\begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & -5 & 2 \end{vmatrix}} {-23}=\frac{18+8+10+3-16+30}{-23}=\frac{53}{-23}=-\frac{53}{23} \)

\(y= \frac{\begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -5 \end{vmatrix}} {-23}=\frac{15+6+24+4+20-27}{-23}=\frac{42}{-23}=-\frac{42}{23}\)

Aqui podemos observar melhor a maneira de determinar os valores de x, y e z utilizando Cramer, pois podemos ver que substituindo os valores dos resultados na coluna correspondente à variável que estamos tentando descobrir e dividindo o resultado pela determinante da matriz original podemos obter o valor da variável no sistema.