COMO FAZER O CALCULO DE ÁREA?

As áreas mais comuns são calculadas com as fórmulas que aprendemos no ensino fundamental e médio, mas qualquer área pode ser calculada através de integrais. Para isso, basta descobrir as funções que definem os lados da figura.

Para calcular qualquer área devemos transformar as funções integraveis em funções integraveis imediatas (que são aquelas as quais lembramos do caminho inverso de sua derivação, ou as que podem ser calculadas lembrando de algumas regras).

No cálculo de qualquer área, as constantes podem ser colocadas fora da integral.

Em qualquer livro de cálculo está disponível toda a teoria na qual estão baseadas as seguintes regras, que são as que calculam as áreas mais comuns:

Int(xⁿ) dx = (x⁽ⁿ⁺¹⁾)/(n+1) + C para n diferente de -1

Int(x^-1) dx = ln(x) + C

Int (x)]^a_b dx = Int(x)] calculada em a - Int(x)] calculada em b

Integral com substituição u du

Essa técnica requer apenas que todos os valores sejam substituidos por u du, e depois retornar o que voce encontrou para a variavel original

Integral com substituição v du = v.u - Int(u) dv (a constante vem de Int(u) dv) (para utilizar esse método, a variavel a ser substituida deve sumir completamente, e deve-se escolher os termos certos para virarem v e os termos certos para virarem du. Para descobrir se vc escolheu os termos certos, é só observar se a função que você gerou é mais simples que a que vc tinha antes). Depois de encontrar a integral, retorne para a variavel original.

Integral com substituição trigonométrica:

Int(Raiz quadrada(a²-x²)) dx = Int(Raiz quadrada(a² - a²sen²(Θ))) dΘ

Int(Raiz quadrada(a²+x²)) dx = Int(Raiz quadrada(a²+a²tg²(Θ))) dΘ

Int(Raiz quadrada(x²-a²)) dx = Int(Raiz quadrada(a²sec²(Θ) - a²)) dΘ

Depois de encontrar a integral em Θ é obrigatório retornar a função para a variável de origem. Isso é possível utilizando as informações que vc obtem da função para gerar um triangulo, e aplicar seus conhecimentos de trigonometria para encontrar os lados desse triangulo.

Integral com fracionamento (Integral com funções parciais).

Para utilizar esse método, devemos considerar algumas coisas:

-deve-se fatorar as funções

-deve-se observar o numero de vezes que aparece cada fator (dado por n em fatorⁿ)

-todas as frações parciais devem ser próprias

-A cada fração parcial se atribui uma letra maiuscula, que representa um valor a ser descoberto

-Frações parciais lineares têm o formato Letra/fator

-Frações parciais com termo quadrático têm o formato (Primeira Letra multiplicando x + Segunda Letra)/fator)

-Normalmente esse método requer bastante algebrismo

-Se um fator se repete n vezes, divide-se ele em tantos fatores lineares e quadráticos necessários, começando pelo fator elevado a primeira potencia até o fator com a enésima potencia.

Por exemplo Int(x/(x²+4x+4))dx = Int(x/(x+2)²) dx = Int(A/(x+2))dx + Int(B/(x+2)²)dx

Como eu disse anteriormente, qualquer figura pode ter sua área calculada com integrais, observe que:

Se você tiver um triangulo retângulo e colocá-lo na origem de um gráfico, ele forma uma função linear, e um dos seus ângulos nos dá a altura desse triângulo (que será y) e o outro nos dá o comprimento (que será x). Para encontrar a área dele, deve-se encontrar a função inclinação desse triangulo e calcular a sua integral aplicada nos limites superior e inferior.

Podemos também calcular a área de figuras bem diferenciadas, desde que saibamos as funções de seus lados.

-Algo muito importante a ser levado em conta é que não existe área negativa, então se é uma figura cuja área está abaixo de x no gráfico, deve-se tomar o negativo do resultado da integral.

Integrais que estão tanto acima de x quanto abaixo de x no gráfico devem ser divididas em funções definidas nos intervalos pedidos e nas raizes da função (tantas quantas houverem), observando a dica anterior.

Se vc quiser calcular áreas mais complicadas, é melhor procurar um livro, sugiro o do Anton.