derivada implícita de raiz quadrada de xy + 2x= raiz quadrada de y

Será realizada a derivação implícita da seguinte equação:

\(\Longrightarrow \sqrt{xy} + 2x = \sqrt{y}\)

\(\Longrightarrow x^{1 \over 2}y^{1 \over 2} + 2x = y^{1 \over 2}\)

Derivando os dois lados da equação em \(x\), tem-se que:

\(\Longrightarrow {d \over dx}\Big (x^{1 \over 2}y^{1 \over 2} \Big ) + {d \over dx}(2x) = {d \over dx} (y^{1 \over 2})\)

\(\Longrightarrow \Big [y^{1 \over 2}{d \over dx}x^{1 \over 2} + x^{1 \over 2}{d \over dx}y^{1 \over 2} \Big ] + 2{d \over dx}(x) = {d \over dx} (y^{1 \over 2})\)

\(\Longrightarrow \bigg [y^{1 \over 2}{d \over dx}x^{1 \over 2} + x^{1 \over 2}{d \over dy}y^{1 \over 2}{dy \over dx} \bigg ] + 2\cdot 1 = {d \over dy} (y^{1 \over 2}){dy \over dx}\)

\(\Longrightarrow \bigg [y^{1 \over 2}\Big ({1 \over 2}x^{{1 \over 2}-1} \Big) + x^{1 \over 2} \Big ({1 \over 2}y^{{1 \over 2}-1} \Big){dy \over dx} \bigg ] + 2 = \Big ({1 \over 2}y^{{1 \over 2}-1} \Big){dy \over dx}\)

\(\Longrightarrow {1 \over 2} { y^{1 \over 2} \over x^{1 \over 2}} + {1 \over 2} { x^{1 \over 2} \over y^{1 \over 2}} {dy \over dx} + 2 = {1 \over 2}{1 \over y^{1 \over 2}} {dy \over dx} \)

\(\Longrightarrow {1 \over 2} \sqrt{ y \over x} + {1 \over 2} \sqrt{ x \over y} {dy \over dx} + 2 = {1 \over 2 \sqrt{y}} {dy \over dx} \)

Multiplicando os dois lados da equação por \(2\sqrt{xy}\), tem-se que:

\(\Longrightarrow y + x {dy \over dx} + 4\sqrt{xy} = \sqrt{x} {dy \over dx} \)

\(\Longrightarrow x {dy \over dx} - \sqrt{x} {dy \over dx} = -(y+4\sqrt{xy})\)

\(\Longrightarrow (x - \sqrt{x}) {dy \over dx} = -(y+4\sqrt{xy})\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = -{y+4\sqrt{xy} \over x - \sqrt{x}}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ {dy \over dx} = {y+4\sqrt{xy} \over \sqrt{x}-x} $}\)