calcule o valo de E= 1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-...+91^2.

Pensei o seguinte:

Podemos parear os termos da sequência (1² - 2²) + (3² - 4²) + (5² - 6²) + (7² - 8²)... + (89² - 90²) + 91² ,  de modo a criar uma sequência com 45 termos. Como o segundo termo do conjunto sempre será par, o último termo 91² ficará isolado.

Resolvendo esses pares obtemos:

(1² - 2²) = -3   

(3² - 4²) = -7   

(5² - 6²) = -11

...

Veja que agora temos uma progressão aritmética de 45 termos em que a razão é -4: (-3, -7, -11, -15, -19...).

Basta aplicar a equação da soma dos termos de uma PA:

\(S_n = {(a_1 + a_n)n \over 2}\)

Perceba que a_n é a soma de (89² - 90²). Pela fatoração da diferença de quadrados (89 + 90)(89-90) = -179

S_n= [(-3 -179)*45]/2 = -4095

Por fim, basta somar o resultado com +91² que ficou isolado:

E = -4095 + 91²

    = -4095 + 8281

   = 4186