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Vetores Combinação linear

A)dados os vetores u=(1,1), v(1,2) e w(1,-2) exprimir w como a combinação linear de u e v

 

B)dados os vetores u=(1,1), v(2,3) e w(-2,5) exprimir w como a combinação linear de u e v

 

COMO DEVO PROCEDER ?


5 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

A)

Primeiro, o vetor \(w=(1,-2)\) será escrito como combinação linear dos vetores \(u=(1,1)\) e \(v=(1,2)\). Essa combinação linear pode ser escrita da seguinte forma:

\(\Longrightarrow w = a \cdot u + b \cdot v\)

Portanto, é necessário calcular os valores de \(a\) e \(b\).


Conhecendo os vetores da equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (1,-2) = a \cdot (1,1) + b \cdot (1,2)\)

\(\Longrightarrow (1,-2) = (a,a) + (b,2b)\)


A partir da equação resultante, pode-se escrever o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a+b=1 & (I)\\ a+2b=-2 & (II) \end{matrix} \right.\)


Subtraindo a equação \((I)\) da equação \((II)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (a+2b)-(a+b)=-2-1\)

\(\Longrightarrow a+2b-a-b=-3\)

\(\Longrightarrow b=-3\)


Substituindo o valor de \(b\) na equação \((I)\), o valor de \(a\) é:

\(\Longrightarrow a+b=1 \)

\(\Longrightarrow a-3=1 \)

\(\Longrightarrow a=4 \)


Finalemente, retornando à equação \(w = a \cdot u + b \cdot v\) e substituindo os valores de \(a\) e \(b\), o vetor \(w\) como combinação linear de \(u\) e \(v\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow w = a \cdot u + b \cdot v\)

\(\Longrightarrow \fbox{ $ w = 4 u -3v $}\)


B)

Neste exercício, o vetor \(w=(-2,5)\) será escrito como combinação linear dos vetores \(u=(1,1)\) e \(v=(2,3)\). Essa combinação linear pode ser escrita da seguinte forma:

\(\Longrightarrow w = c \cdot u + d \cdot v\)

Portanto, é necessário calcular os valores de \(c\) e \(d\).


Conhecendo os vetores da equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (-2,5) = c \cdot (1,1) + d \cdot (2,3)\)

\(\Longrightarrow (-2,5) = (c,c) + (2d,3d)\)


A partir da equação resultante, pode-se escrever o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} c+2d=-2 & (III)\\ c+3d=5 & (IV) \end{matrix} \right.\)


Subtraindo a equação \((III)\) da equação \((IV)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (c+3d)-(c+2d)=5-(-2)\)

\(\Longrightarrow c+3d-c-2d=5+2\)

\(\Longrightarrow d=7\)


Substituindo o valor de \(d\) na equação \((III)\), o valor de \(c\) é:

\(\Longrightarrow c+2d=-2\)

\(\Longrightarrow c+2 \cdot 7=-2\)

\(\Longrightarrow c=-16\)


Finalemente, retornando à equação \( w = c \cdot u + d \cdot v\) e substituindo os valores de \(c\) e \(d\), o vetor \(w\) como combinação linear de \(u\) e \(v\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow w = c \cdot u + d \cdot v\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ w = -16u +7d $}\)

A)

Primeiro, o vetor \(w=(1,-2)\) será escrito como combinação linear dos vetores \(u=(1,1)\) e \(v=(1,2)\). Essa combinação linear pode ser escrita da seguinte forma:

\(\Longrightarrow w = a \cdot u + b \cdot v\)

Portanto, é necessário calcular os valores de \(a\) e \(b\).


Conhecendo os vetores da equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (1,-2) = a \cdot (1,1) + b \cdot (1,2)\)

\(\Longrightarrow (1,-2) = (a,a) + (b,2b)\)


A partir da equação resultante, pode-se escrever o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a+b=1 & (I)\\ a+2b=-2 & (II) \end{matrix} \right.\)


Subtraindo a equação \((I)\) da equação \((II)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (a+2b)-(a+b)=-2-1\)

\(\Longrightarrow a+2b-a-b=-3\)

\(\Longrightarrow b=-3\)


Substituindo o valor de \(b\) na equação \((I)\), o valor de \(a\) é:

\(\Longrightarrow a+b=1 \)

\(\Longrightarrow a-3=1 \)

\(\Longrightarrow a=4 \)


Finalemente, retornando à equação \(w = a \cdot u + b \cdot v\) e substituindo os valores de \(a\) e \(b\), o vetor \(w\) como combinação linear de \(u\) e \(v\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow w = a \cdot u + b \cdot v\)

\(\Longrightarrow \fbox{ $ w = 4 u -3v $}\)


B)

Neste exercício, o vetor \(w=(-2,5)\) será escrito como combinação linear dos vetores \(u=(1,1)\) e \(v=(2,3)\). Essa combinação linear pode ser escrita da seguinte forma:

\(\Longrightarrow w = c \cdot u + d \cdot v\)

Portanto, é necessário calcular os valores de \(c\) e \(d\).


Conhecendo os vetores da equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (-2,5) = c \cdot (1,1) + d \cdot (2,3)\)

\(\Longrightarrow (-2,5) = (c,c) + (2d,3d)\)


A partir da equação resultante, pode-se escrever o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} c+2d=-2 & (III)\\ c+3d=5 & (IV) \end{matrix} \right.\)


Subtraindo a equação \((III)\) da equação \((IV)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (c+3d)-(c+2d)=5-(-2)\)

\(\Longrightarrow c+3d-c-2d=5+2\)

\(\Longrightarrow d=7\)


Substituindo o valor de \(d\) na equação \((III)\), o valor de \(c\) é:

\(\Longrightarrow c+2d=-2\)

\(\Longrightarrow c+2 \cdot 7=-2\)

\(\Longrightarrow c=-16\)


Finalemente, retornando à equação \( w = c \cdot u + d \cdot v\) e substituindo os valores de \(c\) e \(d\), o vetor \(w\) como combinação linear de \(u\) e \(v\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow w = c \cdot u + d \cdot v\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ w = -16u +7d $}\)

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Marcelo Antonio de Freitas

Há mais de um mês

um exemplo:

Dados os vetores u =(3,2) , v = (2,4) e w=(1,3) exprimir w como combinaçao linear de u e v ou seja w =ß1u+ß2 v 

w = a . u + b . v 
(1, 3) = a . (3, 2) + b . (2, 4) 
(1, 3) = (3a, 2a) + (2b, 4b) 
(1, 3) = (3a + 2b, 2a + 4b) 

{ 3a + 2b = 1 ⇒ Multiplicar por (-2) e somar na segunda 
{ 2a + 4b = 3 

-6a + 2a - 4b + 4b = -2 + 3 
-4a = 1 *(-1) 
4a = -1 
a = -1 / 4 

2a + 4b = 3 
2 . (-1 / 4) + 4b = 3 
-1 / 2 + 4b = 3 
4b = 3 + 1 / 2 
4b = 7 / 2 
b = (7 / 2) : 4 
b = (7 / 2) . (1 / 4) 
b = 7 / 8 


w = a . u + b . v 
w = (-1/2) . u + (7/8) . v

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Marcelo Antonio de Freitas

Há mais de um mês

espero que ajude no entendimento! Felicidades

Essa pergunta já foi respondida!