a)

O vetor está em coordenadas cilíndricas. A matriz de conversão é apresentada a seguir:

\(\begin{pmatrix} e_\rho \\ e_\phi \\ e_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i\\ j\\ k \end{pmatrix}\)

Ou seja:

\(E = a e_{rho} + a e_{\phi} + ae_z \\ E = a (\cos \phi i + \sin \phi j) + a (- \sin \phi i+ \cos \phi j ) + ak \\ \boxed{E = a(\cos \phi - \sin \phi)i + a(\cos \phi + \sin \phi)j + ak}\)

b)

O vetor diretor da superfície plana é (1,1,1) em coordenadas cartesianas (basta olhar os coeficientes). Logo, um vetor normal possível seria (1,-1,0), pois o produto escalar com (1,1,1) resulta em zero.

O vetor E é um múltiplo de \(\left( (\cos \phi - \sin \phi), (\cos \phi + \sin \phi), 1 \right)\), pois cada cota de sua formulação está multiplicada por um escalar \(a\). Assim, precisamos fazer o produto escalar do anterior com (1,-1,0), de forma a ter, pelo produto escalar:

\(\cos \theta = \frac{\left( (\cos \phi - \sin \phi), (\cos \phi + \sin \phi), 1 \right)(1,-1,0)​​}{\sqrt{2 \cos^2 \phi+2 \sin^2 \phi + 1^2}} \\ \cos \theta = \frac{-2 \sin \phi}{\sqrt{2(\cos ^2 \phi + \sin^2 \phi) + 1}} \\ \cos \theta = \frac{-2 \sin \phi}{\sqrt{3}}\)

Como o vetor E está aplicado no ponto P(0,1,1), temos \(\phi = 45^{\circ}\) (faça o desenho em coordenadas cilíndricas para reconhecimento). Logo:

\(\cos \theta = \frac{-2 \sin 45^{\circ}}{\sqrt{3}} \\ \cos \theta = \frac{-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} \\ \cos \theta = - \frac{\sqrt{6}}{3} \\ \boxed{\theta \approx 144,7^{\circ}}\)