Encontre todos os elementos da elipse 5x² + 9y² - 30x + 18y + 9 = 0

5X² - 30X + 9Y² + 18Y + 9 = 0

5X² - 30X + 45 + 9Y² + 18Y + 9 = 45

5(X² -6X + 9) + 9(Y² +2Y +1) = 45

5[ (X-3)² ] + 9[ (Y+1)² ] = 45

Nesse exercício vamos estudar elipses.

Vamos escrever a equação dada no seguinte formato:

$$\dfrac{(x-x_c)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_c)^2}{b^2}=1$$

Onde $(x_c,y_c)$ é o centro da elipse e $a$ e $b$ são os semi-eixos.

Para começar vamos rearranjar os termos dependentes de $x$ em um trinômio quadrado perfeito:

$$5(x^2 - 6x) + 9y^2 + 18y + 9 = 0$$

$$5(x^2 - 6x+9-9) + 9y^2 + 18y + 9 = 0$$

$$5(x^2 - 6x+9)-45 + 9y^2 + 18y + 9 = 0$$

$$5(x-3)^2-45 + 9y^2 + 18y + 9 = 0$$

Vamos fazer o mesmo para os termos dependentes de $y$:

$$5(x-3)^2-45 + 9(y^2 + 2y + 1) = 0$$

$$5(x-3)^2 + 9(y + 1)^2 = 45$$

Dividindo por 45:

$$\dfrac{(x-3)^2}{3^2} + \dfrac{(y + 1)^2}{(\sqrt5)^2} = 1$$

Temos portanto o semi-eixo maior paralelo ao eixo $x$ e uma distância focal:

$$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-5}=2$$

Resumindo:

$$\boxed{\dfrac{(x-3)^2}{3^2} + \dfrac{(y + 1)^2}{(\sqrt5)^2} = 1}$$

• $(x_c,y_c)=(3,-1)$

• Semi-eixo maior $a=3$ paralelo a eixo $x$

• Semi-eixo menor $b=\sqrt5$ paralelo ao eixo $y$

• Semi-disância focal $c=2$

• Focos: $F=(3\pm2;-1)$

Nesse exercício vamos estudar elipses.

Vamos escrever a equação dada no seguinte formato:

$$\dfrac{(x-x_c)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_c)^2}{b^2}=1$$

Onde $(x_c,y_c)$ é o centro da elipse e $a$ e $b$ são os semi-eixos.

Para começar vamos rearranjar os termos dependentes de $x$ em um trinômio quadrado perfeito:

$$5(x^2 - 6x) + 9y^2 + 18y + 9 = 0$$

$$5(x^2 - 6x+9-9) + 9y^2 + 18y + 9 = 0$$

$$5(x^2 - 6x+9)-45 + 9y^2 + 18y + 9 = 0$$

$$5(x-3)^2-45 + 9y^2 + 18y + 9 = 0$$

Vamos fazer o mesmo para os termos dependentes de $y$:

$$5(x-3)^2-45 + 9(y^2 + 2y + 1) = 0$$

$$5(x-3)^2 + 9(y + 1)^2 = 45$$

Dividindo por 45:

$$\dfrac{(x-3)^2}{3^2} + \dfrac{(y + 1)^2}{(\sqrt5)^2} = 1$$

Temos portanto o semi-eixo maior paralelo ao eixo $x$ e uma distância focal:

$$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-5}=2$$

Resumindo:

$$\boxed{\dfrac{(x-3)^2}{3^2} + \dfrac{(y + 1)^2}{(\sqrt5)^2} = 1}$$

• $(x_c,y_c)=(3,-1)$

• Semi-eixo maior $a=3$ paralelo a eixo $x$

• Semi-eixo menor $b=\sqrt5$ paralelo ao eixo $y$

• Semi-disância focal $c=2$

• Focos: $F=(3\pm2;-1)$