Como faço esse tipo de integral indefinida?

utilize este site https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x%5E2+sin%5E3+x+dx&lk=3

daí é só vc mudar os dados ele te da a solução e o resultado, qualque duvida como fazer é só entrar no youtube e digitar wolfram alpha.

Neste exercício, será calculada a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int {4 \over 4x^2+20x+34}dx\)

O denominador da integral está no formato adequado para a Fórmula de Bhaskara, com os coeficientes \(a=4\), \(b=20\) e \(c=34\). Portanto, o valor do discriminante \(\Delta\) é:

\(\Longrightarrow \Delta=b^2-4ac\)

\(\Longrightarrow \Delta=20^2-4\cdot 4 \cdot 34\)

\(\Longrightarrow \Delta=400-544\)

\(\Longrightarrow \Delta=-144\)

Como \(\Delta<0\), o denominador não possui soluções reais.

Para conseguir simplificar o denominador, vamos supor um coeficiente \(c=c_1\). Para \(\Delta=0\), o valor de \(c_1\) é:

\(\Longrightarrow \Delta=b^2-4ac\)

\(\Longrightarrow 0=20^2-4\cdot 4c_1\)

\(\Longrightarrow 16c_1=400\)

\(\Longrightarrow c_1=25\)

Portanto, para \(c_1=25\), os zeros da função \(d(x)=4x^2+20x+25\) são:

\(\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{\Delta} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow x = {-20 \pm 0 \over 2\cdot 4}\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1=-2,5 \\ x_2=-2,5 \end{matrix} \right.\)

Portanto, a integral pode ser simplificada da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int {4 \over 4x^2+20x+34}dx = \int {4 \over (4x^2+20x+25)+9}dx\)

                                \(= \int {4 \over a(x-x_1)(x-x_2)+9}dx\)

                                \(= \int {4 \over 4(x+2,5)^2+9}dx\)

                               \(= \int {1 \over (x+2,5)^2+2,25}dx\)

                               \(= \int {1 \over (x+2,5)^2+1,5^2}dx\)

\(\Longrightarrow \int {4 \over 4x^2+20x+34}dx = {1 \over 2,25}\int {1 \over \Big({x+2,5 \over 1,5} \Big)^2+1}dx\)    \((I)\)

Agora, para a equação \((I)\), será utilizado o método da substituição. Sendo uma nova variável \(u={x+2,5 \over 1,5}\), tem-se que:

\(\Longrightarrow u={x+2,5 \over 1,5}\)    \((II)\)

\(\Longrightarrow {du \over dx}={d \over dx} \Big ({x+2,5 \over 1,5} \Big)\)

\(\Longrightarrow {du \over dx}={1 \over 1,5}\)

\(\Longrightarrow dx=1,5 \space du\)      \((III)\)

Substituindo as equações \((II)\) e \((III)\) na equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int {4 \over 4x^2+20x+34}dx = {1 \over 2,25}\int {1 \over \Big({x+2,5 \over 1,5} \Big)^2+1}dx\)

\(\Longrightarrow \int {4 \over 4x^2+20x+34}dx = {1 \over 2,25}\int {1 \over u^2+1}(1,5 \space du)\)

\(\Longrightarrow \int {4 \over 4x^2+20x+34}dx = {1,5 \over 2,25}\int {1 \over u^2+1}du\)

Realizando a integral do lado direito da equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int {4 \over 4x^2+20x+34}dx = {1 \over 1,5}\arctan u\)

Por último, substituindo \(u={x+2,5 \over 1,5}\) na equação anterior, o resultado da integral é:

\(\Longrightarrow \int {4 \over 4x^2+20x+34}dx = {1 \over 1,5}\arctan \Big ({x+2,5 \over 1,5} \Big ) \)

\(\Longrightarrow \int {4 \over 4x^2+20x+34}dx = {2 \over 3}\arctan \Big ({x+5/2 \over 3/2} \Big ) \)

\(\Longrightarrow \fbox{$ \int {4 \over 4x^2+20x+34}dx = {2 \over 3}\arctan \Big ({2 \over 3}x+ {5 \over 3} \Big ) $}\)