Bases vetoriais

A primeira coisa que me vem em mente é verificar se você pode obter alguma combinação linear entre E e F de forma não trivial (ou seja, nem todos os esclares iguais a zero). Se não for possível, F e E são linermente independentes (L.I). Como E tem três coordenadas e é L.I (por hipótese), gera o espaço vetorial V3. Se o mesmo ocorre com F, então F também é uma base para V3.

Melhor alguém confirmar... verifique com seu(sua) professor(a). Bons estudos!

Nesse exercício vamos estudar bases.

Uma base deve ser linearmente independente, isto é, a única forma de escrever o vetor nulo deve ser usando coeficientes nulos. $E$ é uma base, então:

$$a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3=0\Leftrightarrow (a_1,a_2,a_3)=(0,0,0)$$

Vamos escrever a combinação linear do novo vetor:

$$b_1f_1+b_2f_2+b_3f_3=0$$

$$b_1(2e_1-e_3)+b_2(e_2+2e_3)+b_3e_3=0$$

$$2b_1e_1+b_2e_2+(b_3+2b_2-b_1)e_3=0$$

Mas sabemos que essa combinação linear é identicamente nula:

$$\begin{cases}2b_1=0&\Rightarrow b_1=0\\b_2=0&\Rightarrow b_2=0\\ b_3+2b_2-b_1=0\Rightarrow b_3=0\end{cases}\Rightarrow (b_1,b_2,b_3)=(0,0,0)$$

Concluindo, portanto, que $F$ é também uma base.