As integrais duplas e triplas

Nesse exercício vamos estudar integrais duplas e triplas.

Vamos analisar cada uma da afirmações. A afirmação I diz que a integral dada:

$$\int_0^1\int_1^2\int_2^3xyz\,dx\,dy\,dz$$

É função de $x$, mas perceba que os limites das integrais são numéricos, de forma que teremos um resultado numérico, portanto a afirmação I é falsa.

Para a segunda afirmação temos a seguinte integral

$$\int_0^1\int_1^2\int_2^31\,dx\,dy\,dz$$

De limites reais e a unidade como integrando. A afirmação diz que o resultado é real, o que é verdade, visto que temos uma região formada por um paralelepípedo (já que os limites das integrais são constantes reais) e como o integrando é a unidade, teremos como resultado o volume de tal paralelepípedo, que com certeza é real. Portanto a afirmação II é verdadeira.

Para a terceira afirmação temos a seguinte integral:

$$\int_0^2\int_0^4xyz\,dx\,dz$$

Perceba que $y$ não é variável de integração de nenhuma das integrais, de forma que ao final ela aparecerá no resultado, o que mostra que o resultado será função de $y$, logo a afirmação III é verdadeira.

Para a última afirmativa, temos:

$$I = \int_1^2\int_1^3\dfrac1x+\dfrac1y\,dx\,dy$$

Vamos calculá-la, começando pela variável mais interna, que é $x$:

$$I=\int_1^2\left[\ln x+\dfrac{x}{y}\right]_1^3dy=\int_1^2\ln3-\ln1+\dfrac3y-\dfrac1y\,dy =\int_1^2\ln3 +\dfrac2y \,dy$$

Integrando agora em relação a $y$, temos:

$$I=\int_1^2\ln3 +\dfrac2y \,dy=\left[y\ln3+2\ln y\right]_1^2=2\ln3-\ln3+2\ln2-2\ln1=\ln3+2\ln2$$

Lembre-se de que:

$$e\ln b=\ln b^e$$

Então:

$$I=\ln3+\ln4$$

Logo a afirmação IV é verdadeira.

Nesse exercício vamos estudar integrais duplas e triplas.

Vamos analisar cada uma da afirmações. A afirmação I diz que a integral dada:

$$\int_0^1\int_1^2\int_2^3xyz\,dx\,dy\,dz$$

É função de $x$, mas perceba que os limites das integrais são numéricos, de forma que teremos um resultado numérico, portanto a afirmação I é falsa.

Para a segunda afirmação temos a seguinte integral

$$\int_0^1\int_1^2\int_2^31\,dx\,dy\,dz$$

De limites reais e a unidade como integrando. A afirmação diz que o resultado é real, o que é verdade, visto que temos uma região formada por um paralelepípedo (já que os limites das integrais são constantes reais) e como o integrando é a unidade, teremos como resultado o volume de tal paralelepípedo, que com certeza é real. Portanto a afirmação II é verdadeira.

Para a terceira afirmação temos a seguinte integral:

$$\int_0^2\int_0^4xyz\,dx\,dz$$

Perceba que $y$ não é variável de integração de nenhuma das integrais, de forma que ao final ela aparecerá no resultado, o que mostra que o resultado será função de $y$, logo a afirmação III é verdadeira.

Para a última afirmativa, temos:

$$I = \int_1^2\int_1^3\dfrac1x+\dfrac1y\,dx\,dy$$

Vamos calculá-la, começando pela variável mais interna, que é $x$:

$$I=\int_1^2\left[\ln x+\dfrac{x}{y}\right]_1^3dy=\int_1^2\ln3-\ln1+\dfrac3y-\dfrac1y\,dy =\int_1^2\ln3 +\dfrac2y \,dy$$

Integrando agora em relação a $y$, temos:

$$I=\int_1^2\ln3 +\dfrac2y \,dy=\left[y\ln3+2\ln y\right]_1^2=2\ln3-\ln3+2\ln2-2\ln1=\ln3+2\ln2$$

Lembre-se de que:

$$e\ln b=\ln b^e$$

Então:

$$I=\ln3+\ln4$$

Logo a afirmação IV é verdadeira.