Alguém pode mim ajudar com uma equação de limites?

Olá, acesse o link do meu passei direto que está a resolução desse limite!

https://www.passeidireto.com/arquivo/6178620/resolucao-do-limite.

Espero ter ajudado!

Neste exercício, será calculado o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 3} { \sqrt[3]x - \sqrt[3]3 \over x-3}\)

Primeiro, será criado duas novas variáveis, conforme apresentadas a seguir:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a= \sqrt[3]x \\ b = \sqrt[3]3 \end {matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x= a^3 \\ 3 = b^3 \end {matrix} \right.\)

Assim, o limite fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 3} { \sqrt[3]x - \sqrt[3]3 \over x-3}= \lim_{a^3 \to 3} { a - b \over a^3-b^3}\)

                              \(= \lim_{a \to \sqrt[3] 3} { a - b \over a^3-b^3}\)

Substituindo \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\), a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 3} { \sqrt[3]x - \sqrt[3]3 \over x-3}= \lim_{a \to \sqrt[3] 3} { a - b \over (a-b)(a^2+ab+b^2)}\)

                              \(= \lim_{a \to \sqrt[3] 3} { 1 \over a^2+ab+b^2}\)

Substituindo \(b = \sqrt[3]3\) na equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 3} { \sqrt[3]x - \sqrt[3]3 \over x-3}= \lim_{a \to \sqrt[3] 3} { 1 \over a^2+a \sqrt[3]3+(\sqrt[3]3)^2}\)                           

Substituindo o valor limite, o resultado final é:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 3} { \sqrt[3]x - \sqrt[3]3 \over x-3} = { 1 \over (\sqrt[3] 3)^2+(\sqrt[3] 3) \cdot \sqrt[3] 3+(\sqrt[3] 3)^2}\)

                               \( = { 1 \over (\sqrt[3] 3)^2+(\sqrt[3] 3)^2+(\sqrt[3] 3)^2}\)

                               \(= { 1 \over 3(\sqrt[3] 3)^2}\)

                               \(= { 1 \over 3^{5/3}}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \lim_{x \to 3} { \sqrt[3]x - \sqrt[3]3 \over x-3} = 0,1602 $}\)