a soma das raizes da equação 2^2x+1 - 2^x+4 = 2^x+2 - 32

Nesse exercício vamos estudar equação exponencial.

Vamos encontrar a soma das raízes da seguinte equação:

$$2^{2x+1}-2^{x+4}=2^{x+2}-32$$

Vamos reescrever de forma que tenhamos a variável somente como expoente de $2$, isto é, somente no formato $y=2^x$, lembrando que

$$2^{a+b}=2^a2^b$$

Então:

$$2^1\cdot2^{2x}-2^4\cdot 2^{x}=2^2\cdot 2^{x}-32$$

$$2\cdot2^{2x}-16\cdot 2^{x}=4\cdot 2^{x}-32$$

Lembrando que $2^{ab}=(2^a)^b$, temos:

$$2\cdot(2^x)^2-16\cdot 2^x=4\cdot 2^x-32$$

Juntando os termos equivalentes e dividindo por 2:

$$ (2^x)^2-10\cdot 2^x+16=0$$

Mas lembre-se de que o produto das raízes de uma equação de segundo grau é dado por:

$$P=\dfrac{c}{a}$$

Que no nosso caso é:

$$2^{r_1}\cdot2^{r_2}=16$$

$$2^{r_1+r_2}=2^4$$

Logo a soma das raízes é 4.