Como saber a equação do plano com dois vetores diretores?

Primeiro deve-se encontrar o vetor normal ao plano fazendo o produto vetorial entre u1 e u2.

| i j k| 
|3 1 -1| 
|1 -2 1| 
n = -i - 4j - 7k 
n = (1,-4,7) 
O produto escalar entre qualquer vetor do plano e u é igual a zero. Portanto:
(x-3, y-1, z-2).(1, 4, 7) = 0 
Desenvolva e obterá uma equação do plano, espero ter ajudado.

Que eu saiba o vetor n (que é encontrado pelo produto vetorial entre o u1 e u2) são os valores de a, b e c do plano, a equação do plano é ax + by + cz + d = 0

se n= (1, -4, 7)

a=1, b= -4, c= 7

x -4y + 7z + d = 0

(pega um dos vetores e coloca na equação pra descobrir o d, o u1 por exemplo)

(3) - 4.(1) + 7(-1) + d = 0

3 -4 - 7 + d = 0

d= 8

Eq do plano: x - 4y + 7z + 8 = 0

Precisamos encontrar um vetor \(n=(a,b,c)\) que seja ortogonal ao plano:

\(\left[ \begin{array}{c c c} i&j&k\\ 3&1&-1\\ 1&-2&1\\ \end{array}\right]\)

Os índices da matriz são dos vetores dados.

\(\left[ \begin{array}{c c c} i&j&k&i&j\\ 3&1&-1&3&1\\ 1&-2&1&1&-2\\ \end{array}\right] = i-j-6k-(3j+2i+k)=(-1;-4;-7)\)

A equação geral ou cartesiana do plano é dada por 

\(a x + b y + c z + d = 0 \)

onde \(a,b\) e \(c \)são os componentes do vetor ortogonal

\(x,y,z\) são as coordenadas do ponto dado

\(d\) é uma contante

Assim:

\(-1 x + -4y + -7z + d = 0 \\ -x-4y-7z+d=0\)

Para acharmos a contante \(d\), vamos substituir os valores do ponto:

\(-x-4y-7z+d=0\\ -3-4.1-7.2+d=0\\ d=21\)

Assim, a equação é:

\(-x-4y-7z+d=0\\ \boxed{ -x-4y-7z+21=0\\ }\)