Neste exercício, serão determinados a altura e o raio de um cilindro. Para isso, será utilizada a relação dada pelo enunciado entre a altura \(h\) e o raio \(r\). Essa relação está apresentada a seguir:
\(\Longrightarrow {h \over r} = {9 \over 5}\)
\(\Longrightarrow h= {9 \over 5}r\) \((I)\)
Além disso, sabe-se que o cilindro possui área lateral igual a \(A_{lat}=270 \pi \space \mathrm {cm^2}\). A área lateral é igual à área de um retângulo de dimensões \(2 \pi r\) e \(h\), ou seja:
\(\Longrightarrow A_{lat}= 2\pi r\cdot h\)
\(\Longrightarrow 270 \pi= 2\pi r\cdot h\) \((II)\)
Substituindo a equação \((I)\) na equação \((II)\), a equação resultante é:
\(\Longrightarrow 270 \pi= 2\pi r\cdot {9 \over 5}r\)
\(\Longrightarrow 270 = 3,6r^2\)
\(\Longrightarrow r^2 = 75\)
Portanto, o valor de \(r\) é:
\(\Longrightarrow r = \sqrt{75}\)
\(\Longrightarrow r = \sqrt{25} \cdot\sqrt { 3}\)
\(\Longrightarrow \fbox {$ r = 5 \sqrt { 3} \space \mathrm {cm} $}\)
Substituindo o valor de \(r\) na equação \((I)\), o valor de \(h\) é:
\(\Longrightarrow h= {9 \over 5}r\)
\(\Longrightarrow h= {9 \over 5}5 \sqrt { 3}\)
\(\Longrightarrow \fbox {$ h= 9 \sqrt { 3} \space \mathrm {cm} $}\)
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