quantos são os anagramas da palavra matemática?

Nesse exercício vamos estudar permutações.

O número de permutações de uma palavra de tamanho $N$ com $n_1$ repetições de uma letra, $n_2$ repetições de outra, etc é dado por:

$$P_N^{n_1,n_2,...}=\dfrac{N!}{n_1!\cdot n_2!\cdots}$$

Nesse temos que decidir se vamos considerar á igual a a ou não. Os exercícios costumam considerar iguais, então vamos fazer dessa forma:

$$x = P_N^{n_m,n_a,n_t,n_e,n_i,n_c}$$

$$x = P_{10}^{2,3,2,1,1,1}$$

$$x =\dfrac{10!}{2!\cdot3!\cdot 2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!}$$

Usando a definição de fatorial, temos:

$$x=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3!}{ 2\cdot3!\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1}$$

$$x=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{ 2\cdot 2}$$

$$x=10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5$$

Temos, portanto:

$$\boxed{x=151200}$$

Nesse exercício vamos estudar permutações.

O número de permutações de uma palavra de tamanho $N$ com $n_1$ repetições de uma letra, $n_2$ repetições de outra, etc é dado por:

$$P_N^{n_1,n_2,...}=\dfrac{N!}{n_1!\cdot n_2!\cdots}$$

Nesse temos que decidir se vamos considerar á igual a a ou não. Os exercícios costumam considerar iguais, então vamos fazer dessa forma:

$$x = P_N^{n_m,n_a,n_t,n_e,n_i,n_c}$$

$$x = P_{10}^{2,3,2,1,1,1}$$

$$x =\dfrac{10!}{2!\cdot3!\cdot 2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!}$$

Usando a definição de fatorial, temos:

$$x=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3!}{ 2\cdot3!\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1}$$

$$x=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{ 2\cdot 2}$$

$$x=10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5$$

Temos, portanto:

$$\boxed{x=151200}$$