EDO's de 2ª ordem

Bom, temos que a solução geral está na forma de combinação linear, e quando a solução se encontra na forma y = c1*e^xt + c2*e^yt (que é o caso), temos que x e y são as raízes da equação característica de uma edo de 2ª ordem homogênea, ou seja, uma edo que está na forma ay'' + by' + c = 0. Temos que a, b e c serão os coeficientes da equação característica, ou seja, ax² + bx + c = 0.
Portando precisamos encontra tal equação característica para a qual as raízes sejam 2 e 3, que é o caso do problema.

Eu realizei uma manipulação na fórmula de Bhaskara para encontrar valores válidos para a, b e c de tal forma que as raízes da equação fossem 2 e 3. Os cálculos ficaram tão bagunçados que nem sei como transcrever aqui. Você pode me adicionar no facebook e eu te mando a foto dessa manipulação ;)

Enfim, a = 1, b = -5 e c = 6 (x² - 5x +6 = 0), satisfazem minha solução para o problema.

Logo y'' -5y' + 6y = 0 é uma EDO cuja solução é y=c1*e^2t+c2*e^3t.

Espero ter ajudado :)

Neste exercício, será encontrada uma equação diferencial cuja solução geral é:

\(\Longrightarrow y=c_1e^{2t} + c_2e^{3t}\)

Conhecendo a equação de \(y\), sua derivada \(y'\) é:

\(\Longrightarrow y'=(c_1e^{2t} + c_2e^{3t})'\)

\(\Longrightarrow y'=c_1(e^{2t})' + c_2(e^{3t})'\)

\(\Longrightarrow y'=2c_1e^{2t} + 3c_2e^{3t}\)

E sua derivada \(y''\) é:

\(\Longrightarrow y''=2c_1(e^{2t})' + 3c_2(e^{3t})'\)

\(\Longrightarrow y''=2\cdot 2c_1e^{2t}+ 3 \cdot 3c_2e^{3t}\)

\(\Longrightarrow y''=4c_1e^{2t}+ 9c_2e^{3t}\)

Portanto, uma equação diferencial que serve como solução é:

\(\Longrightarrow y''+Ay'+By=0\)

Agora, temos que descobrir os valores de \(A\) e \(B\).

Substituindo as funções na equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (4c_1e^{2t}+ 9c_2e^{3t})+A(2c_1e^{2t} + 3c_2e^{3t})+B(c_1e^{2t} + c_2e^{3t})=0\)

\(\Longrightarrow c_1e^{2t}(4+2A+B)+c_2e^{3t}(9+3A+B)=0\)

Para a equação anterior, as seguintes equações devem ser atendidas:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 4+2A+B=0 \\ 9+3A+B=0 \end{matrix} \right.\)

Subtraindo as duas equações do sistema, o valor de \(A\) é:

\(\Longrightarrow (4+2A+B)-(9+3A+B)=0-0\)

\(\Longrightarrow -5-A=0\)

\(\Longrightarrow \underline{ A=-5}\)

E o valor de \(B\) é:

\(\Longrightarrow 4+2A+B=0\)

\(\Longrightarrow B=-4-2A\)

\(\Longrightarrow B=-4-2 \cdot (-5)\)

\(\Longrightarrow \underline {B=6}\)

Concluindo, uma equação diferencial cuja solução geral é \(y=c_1e^{2t} + c_2e^{3t}\) é:

\(\Longrightarrow y''+Ay'+By=0\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ y''-5y'+6y=0 $}\)