O poder da Administração Pública é o mesmo que os poderes do Estado?

Não.

As expressões não são sinônimas. O termo “poder da Administração Pública” está ligado às prerrogativas do administrador no exercício da função administrativa. “Poderes do Estado” (Executivo, Legislativo e Judiciário), por sua vez, são uma repartição funcional do exercício do Poder, que, na realidade é sempre UNO e INDIVISÍVEL.