Quais são as coordenadas de x =(1,0,0) em relação à base B ={(1,1,1);(-1,1,0);(1,0,-1)}?

As coordenadas de x em relação a base B serão tais que:

\(a.(1,1,1)+ b. (-1,1,0)+ c (1,0,-1)= (1,0,0)\)

Multiplicando:

\(a.(1,1,1)+ b. (-1,1,0)+ c (1,0,-1)= (1,0,0)\\ (a,a,a)+ (- b, b,0)+ (c,0,-c)= (1,0,0)\)

Utilizando a soma de vetores:

\(a-b+c=1\\ a+b+0=0 \rightarrow b=-a\\ a+0-c=0 \rightarrow a=c\)

Substituindo em \(a-b+c=1\)

\(a-b+c=1\\ a-(-a)+a=1\\ 3a=1\\ a=\frac{1}3\)

Assim

\(b=-\frac{1}3\\ c= \frac{1}3\)

As coordenadas são

\(\boxed{a=\frac{1}3}\\ \boxed{b=-\frac{1}3}\\ \boxed{c= \frac{1}3}\)

Caso tenha ficado confuso p/ entender, eu upei a img da minha resolução no caderno;

Para a resolução do sistema, usei Cramer:

Imagem: http://prntscr.com/anqhlv