aritmatica- inteiros

Princípio da Indução Matemática

1º: vale para n=1?

(1+a)^(1) ≥ 1+1.a, no caso, é até igual. 

2º:Assumimos que vale para n=k. Essa será nossa hipótese (de indução).

(1+a)^(k) ≥ 1+k.a 

3º: Verificamos para n=k+1.

(1+a)^(k+1) = [(1+a)^(k)]*[(1+a)^(1)] ≥ [1+k.a]*[1+a], pelo 1º e 2º passo.

Desenvolvendo e pondo a em evidência para obter (k+1),

[1+k.a]*[1+a]=1+a+k.a+k.a² =1+ (k+1).a+k.a² 

Como a>-1, a² será sempre positico e k∈N. Logo,

1+ (k+1).a+k.a²≥ 1+(k+1)(a)

Assim, temos que (1+a)^(k+1) ≥ 1+(k+1)(a). c.q.d

MUITO OBRIGADA!