Extremos de funções.

pegue a forma geral do volume de um paralelepípedo (X.Y.Z), aplique multiplicadores de Lagrange para as restrições de fronteira com o elipsóide ;)

Podemos tratar da maximização por gradientes. Se a função volume é \(V(x,y,z) = xyz\) e a restrição é \(E(x,y,z) = 36x^2 + 9y^2 + 4z^2 - 36\), os gradientes serão:

\(\nabla V = (yz, xz, xy) \\ \nabla E = (72x, 18y, 8z)\)

O sistema \(\nabla V = \lambda \nabla E\) nos fornece:

\(yz = \lambda 72x \\ xz = \lambda 18y \\ xy = \lambda 8z\)

Ao dividir a primeira pela segunda equação e a segunda pela terceira, inferimos:

\(y = 2x \\ z = 3x\)

Os valores negativos pouco importam porque ou se anulam pela regra de sinal ou geram incongruências, pois o volume é estritamente positivo.

As substituições na função de restrição nos dá:

\(36x^2 + 9(2x)^2 + 4(3x)^2 = 36 \\ 108x^2 = 36 \\ x = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

Novamente, valor negativo não nos interessa.

Com o valor anterior, teremos ainda:

\(y = \frac{2}{\sqrt{3}} \\ z = \frac{3}{\sqrt{3}}\)

Como os valores anteriores são coordenadas, e como o elipsoide está na origem, cada lado do paralelepípedo terá o dobro dos valores encontrados (cada lado vai de -x  a + x, -y a + y e -z a +z). Assim, o volume será:

\(V = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \boxed{\frac{16}{\sqrt{3}}}\)