Determine se o conjunto o U={(x,y,z)pertence R3/y=x+z} é subspaço vetorial

Assim, um subespaço vetorial \(U\) é um subconjunto não vazio de \(V\) em que as mesmas operações de adição e multiplicação estão definidas. Para determinar se um conjunto \(U\) é subespaço vetorial de \(V\) podemos verificar se o elemento neutro de \(V\) pertence a \(U\), verificar se a soma de dois vetores \({{\vec w}_1}\) e \({{\vec w}_2}\) pertencentes a \(U\) pertence a \(V\) e verificar se a multiplicação de um vetor \(\vec u \in U\) por um escalar \(\alpha\) pertence a \(V\).

Em nosso caso, temos que \(V = {{\mathbb R}^3}\). Para a primeira condição, o elemento neutro de \(V\) representado por \(\vec e = \left( {0,0,0} \right)\) pertence a \(U\), pois \(0=0+0\). Para a segunda condição, consideremos \({{\vec w}_1} = \left( {{x_1},{x_1} + {x_2},{x_2}} \right)\) e \({{\vec w}_2} = \left( {{x_3},{x_3} + {x_4},{x_4}} \right)\). Assim, temos para a adição:

\[\eqalign{ {{\vec w}_1} + {{\vec w}_2} &= \left( {{x_1},{x_1} + {x_2},{x_2}} \right) + \left( {{x_3},{x_3} + {x_4},{x_4}} \right)\cr&= \left( {{x_1} + {x_3},{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4},{x_2} + {x_4}} \right)\cr&= \left( {{x_1} + {x_3},\left( {{x_1} + {x_3}} \right) + \left( {{x_2} + {x_4}} \right),{x_2} + {x_4}} \right) \in V }\]

E, para a terceira condição, consideremos \(\vec u = \left( {{x_1},{x_1} + {x_2},{x_2}} \right)\). Assim, para a multiplicação pelo escalar \(\alpha\), temos:

\[\alpha \cdot \vec u = \left( {\alpha \cdot {x_1},\alpha \cdot \left( {{x_1} + {x_2}} \right),\alpha \cdot {x_2}} \right) \in V\]

Portanto, o conjunto \(U\) é subespaço vetorial de \(V\).