Encontre a solução da equação diferencial de variáveis separadas. dy/dx=y^3/x^2 AJUDA

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Uma equação diferencial separável é aquela em que conseguimos isolar uma variável em um lado da igualdade e outra no outro lado.

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Vamos resolver a seguinte equação diferencial:

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^3}{x^2}\]

Dividindo por \(y^3\), temos:

\[\dfrac{1}{y^3}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x^2}\]

Integrando em relação a \(x\) em ambos os lados, temos:

\[\int\dfrac{1}{y^3}\dfrac{dy}{dx}dx=\int\dfrac{1}{x^2}dx\]

\[\int y^{-3}dy=\int x^{-2}dx\]

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Vamos usar a regra do tombo inversa:

\[\int x^ndx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+K\]

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Vamos usar a fórmula para integrar a equação:

\[-\dfrac12y^{-2}=-x^{-1}+K\]

Multiplicando por \(-2\), temos:

\[y^{-2}=2x^{-1}-2K\]

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Tomando \(C=-2K\), temos a alternativa B:

\[\boxed{y^{-2}=2x^{-1}+C}\]