Dada a EDO homogênea de primeira ordem (x2 - y2)dx - 2xydy = 0, marque a alternativa que indica sua solução.

alternativa d

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Queremos saber qual das alternativas é solução da seguinte equação diferencial:

\[(x^2 - y^2)dx - 2xydy = 0\]

Rearranjando, temos:

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^2-y^2}{2xy}=\dfrac{x}{2y}-\dfrac{y}{2x}\]

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Como temos as possíveis soluções, basta-nos verificar se cada uma delas tem essa derivada. Vamos fazer isso derivando implicitamente cada uma delas. Começando pela alternativa A, temos:

\[x^3 - 3x^2y^2 = k\]

\[3x^2- 6xy^2- 6x^2y\dfrac{dy}{dx} = 0\]

\[x- 2y^2- 2xy\dfrac{dy}{dx} = 0\]

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x-2y^2}{2xy}\neq \dfrac{x^2-y^2}{2xy}\]

Vamos para a alternativa B:

\[2x^3 - 3xy^2 = k\]

\[6x^2- 3y^2- 6xy\dfrac{dy}{dx} = 0\]

\[2x^2- y^2- 2xy\dfrac{dy}{dx} = 0\]

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x^2-y^2}{2xy}\neq \dfrac{x^2-y^2}{2xy}\]

Vamos para a alternativa C:

\[x +xy^2 = k\]

\[1+y^2+2xy\dfrac{dy}{dx} = 0\]

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-1-y^2}{2xy}\neq \dfrac{x^2-y^2}{2xy}\]

Vamos para a alternativa D:

\[x^3 - 3xy^2 = k\]

\[3x^2- 3y^2- 6xy\dfrac{dy}{dx} = 0\]

\[x^2- y^2- 2xy\dfrac{dy}{dx} = 0\]

\[\dfrac{dy}{dx}=\boxed{\dfrac{x^2-y^2}{2xy}= \dfrac{x^2-y^2}{2xy}}\]

Logo a b é a correta.