Encontre o ponto máximo da função f(x)= -4x²+4x+5

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Trata-se de uma equação do segundo grau (já que o máximo expoente que um “x” tem é 2), que representa a figura de uma parábola. O que buscamos aqui é o ponto de máximo.

A princípio, devemos nos lembrar que uma equação do segundo grau é da forma \(ax^2 + bx + c\) , onde \(a\) , \(b\) e \(c\) são os coeficientes. Assim, no caso, temos \(a = -4\), \(b=4\) e \(c=5\).

Toda parábola tem um vértice, que é o ponto mais alto ou mais baixo de sua curva. No caso:

• Será o ponto mais alto quando o coeficiente (coeficiente é o número que multiplica) do \(x^2\) for negativo, sendo chamado de ponto de máximo; e
• Será o ponto mais baixo quando o coeficiente do (x ao quadrado) for positivo, sendo chamado de ponto de mínimo.

Conforme vemos, o coeficiente do \(x^2\) é -4, um número negativo, o que confirma o que o enunciado havia nos dito: a função em questão tem um ponto de máximo.

Para se determinar o ponto de máximo, então, precisamos encontrar o vértice da parábola. Para tanto, usamos as seguintes equações:

\[\eqalign{ & x_v = {{ - b} \over {2a}} \cr & y_v = {{ - \Delta } \over {4a}} }\]

Devemos saber que \(\Delta = b^2 - 4ac\). Agora, vamos calcular os vértices do ponto máximo, \(x_v\) e \(y_v\):

\[\eqalign{ & x_v = {{ - b} \over {2a}} \cr & x_v = {{ - 4} \over {2( - 4)}} = {{ - 4} \over { - 8}} = 0,5;e }\]

\[\eqalign{ & y_v = {{ - \Delta } \over {4a}} \cr & y_v = {{ - (b^2 - 4ac)} \over {4( - 4)}} = {{ - (4^2 - 4 \times ( - 4) \times 5)} \over { - 16}} \cr & y_v = {{ - (16 + 80)} \over { - 16}} = {{ - 96} \over { - 16}} = 6. }\]

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Assim, vemos que o ponto de máximo da função dada é \((0,5 ; 6)\).