ELETROMAGNETISMI CARGA TOTAL, DENSIDADE DE FLUXO?

Precisando de quantas no total? precisa realizar as integrais.

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Para calcular a carga total contida no cone, dada a densidade de carga volumétrica \({\rho _v} = 20{R^2}{\cos ^2}\theta {\text{ (mC/}}{{\text{m}}^3})\), vamos utilizar a seguinte expressão:

\[Q = \int\limits_{v} {{\rho _v}dv}\]

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Assim, para realizarmos a integração no volume, como \(R \leqslant 2{\text{ m}}\) e \(0 \leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi }{4}\), vamos calcular:

\[\eqalign{ Q &= \int\limits_0^{\pi /4} {\int\limits_0^2 {\left( {20{R^2}{{\cos }^2}\theta } \right)dRd\theta } }\cr&= \int\limits_0^{\pi /4} {\left. {\left( {20\dfrac{{{R^3}}}{3}{{\cos }^2}\theta } \right)} \right|_0^2} d\theta\cr&= \int\limits_0^{\pi /4} {\left( {\dfrac{{160}}{3}{{\cos }^2}\theta } \right)d\theta }\cr&= \dfrac{{160}}{3} \cdot \left. {\left( {\dfrac{\theta }{2} + \dfrac{{\sin 2\theta }}{4}} \right)} \right|_0^{\pi /4}\cr&= \dfrac{{160}}{3} \cdot \left( {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{4}} \right)\cr&= \dfrac{{20\left( {\pi + 2} \right)}}{3}{\text{ mC}} }\]

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Portanto, a carga total contida no cone é \(\boxed{\dfrac{{20\left( {\pi + 2} \right)}}{3}{\text{ mC}}}\).

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Q02

Para a densidade de carga superficial \({\rho _s} = {\rho _s}_0\sin \phi {\text{ (C/}}{{\text{m}}^2})\), a quantidade de carga pode ser calculada pela fórmula, onde \({A_{disco}}\) é a área do disco:

\[Q = {\rho _s} \cdot {A_{disco}}\]

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Como o disco é circular e possui raio \(a\), sua área é \({A_{disco}} = \pi {a^2}\). Logo, substituindo na fórmula anterior:

\[\eqalign{ Q &= {\rho _s} \cdot {A_{disco}}\cr&= {\rho _s}_0\sin \phi \cdot \pi {a^2}\cr&= \pi {a^2}{\rho _s}_0\sin \phi }\]

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Portanto, a carga total do disco é \(\boxed{Q = \left( {\pi {a^2}{\rho _{s0}}\sin \phi } \right){\text{ C}}}\).

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Q03

Seja \(\vec D\) a densidade de fluxo elétrico. Para determinarmos a expressão de carga \({\rho _v}\), vamos utilizar o teorema da divergência que é expressa pela fórmula:

\[{\text{div}}\vec D = {\rho _v}\]

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Sendo \(\vec D = {D_x}\hat x + {D_y}\hat y + {D_z}\hat z\), o operador divergente é definido da seguinte forma:

\[{\text{div}}\vec D = \dfrac{{\partial {D_x}}}{{\partial x}} + \dfrac{{\partial {D_y}}}{{\partial y}} + \dfrac{{\partial {D_z}}}{{\partial z}}\]

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Assim, aplicando o teorema para \(\vec D = \hat x2\left( {x + y} \right) + \hat y\left( {3x - 2y} \right){\text{ (C/}}{{\text{m}}^2})\), temos:

\[\eqalign{ {\rho _v} &= {\text{div}}\vec D\cr&= \dfrac{\partial }{{\partial x}}\left[ {2\left( {x + y} \right)} \right] + \dfrac{\partial }{{\partial y}}\left( {3x - 2y} \right) + \dfrac{\partial }{{\partial z}}\left( 0 \right)\cr&= 2 + \left( { - 2} \right)\cr&= 0 }\]

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Portanto, temos que \(\boxed{{\rho _v} = 0}\).