Sêquencias - Equação de diferença logística

A relação recursiva
 

é chamada equação de diferença logística e, quando o
valor inicial a0 é dado, a equação define a sequência
logística {an}. Nesta questão, escolheremos a0 nointervalo 0 < a0 < 1, digamos a0 = 0,3.

a) Faça r = 3/4. Calcule e represente graficamente os
pontos (n, an) para os 100 primeiros termos da
sequência. Esta parece convergir? Qual você acha que
é o limite? O limite parece depender da sua escolha
dea0?

b) Escolha diversos valores de r no intervalo 1 < r <
3 e repita o procedimento do item a). Certifique-se de
ter escolhido alguns pontos próximos aos extremos do
intervalo. Descreva o comportamento das sequências
que você observa nos seus gráficos.

c) Agora, examine o comportamento da sequência
para valores de próximos aos extremos do intervalo
3 < r < 3,45. O valor de transição r = 3 é chamado
valor de bifurcação, e o novo comportamento da
seqüência no intervalo é denominado 2 −
ciclo atrator. Explique por que isso descreve
razoavelmente esse comportamento.

d) Em seguida, explore o comportamento para valores
de r próximos aos extremos de cada um dosintervalos
3,45 < r < 3,54 e 3,554 < r < 3,55. Represente

graficamente os 200 primeiros termos das sequências.
Descreva com as próprias palavras o comportamento
observado nos seus gráficos para cada intervalo. Entre
quantos valores a sequência parece oscilar para cada
intervalo? Os valores r = 3,45 e r = 3,54
(arredondados para duas casas decimais) também são
chamados valores de bifurcação porque o
comportamento da sequência muda quando r passa
por esses valores.

e) A situação se torna ainda mais interessante. Na
verdade, existe uma sequência crescente de valores
de bifurcação 3 < 3,45 < 3,54 < . . . < cn < cn+1
tais que para cn < r < cn+1, a sequência logística
{an} acaba oscilando regularmente ao redor dos
valores 2n, chamado 2n-ciclo atrator. Além disso, asequência de bifurcação {cn} é limitada superiormente por 3,57 (as-sim ela converge). Se você
escolher r < 3,57, observará um 2n − ciclo de algum
tipo. Escolha r = 3,5695 e represente graficamente 300 pontos.

f) Vejamos o que acontece quando r > 3,57. Escolha
r = 3,65 e calcule e represente graficamente os 300
primeiros termos de {an}. Observe como os termos
variam de maneira imprevisível e caótica. Você não
pode predizer o valor de {an+1} partir de termos anteriores.

g) Para r = 3,65, escolha dois valores iniciais de a0
que estejam próximos, digamos a0 = 0,3 e
a0 = 0,301. Calcule e represente graficamente os
300 primeiros valores da sequência que cada valor
inicial determina. Compare os comportamentos
observados nos seus gráficos. Quão longe você vai até
que os termos correspondentes das suas duas
sequências pareçam se distanciar entre si? Repita a
exploração para r = 3,75. Você pode ver como os
gráficos parecem diferentes dependendo da sua
escolha de a0? Dizemos que a seqüência logística é
sensível à condição inicial a0.