integral definida como se resolve a integral do módulo do cos(x) com limites de integração iguais a: 3pi/4 e 0 gostaria de uma explicação.

resultado

√2  /2

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Vamos calcular a seguinte integral:

\[I=\int_0^{3\pi/4}|\cos x|dx\]

A função modular é definida da seguinte forma:

\[|x|=\begin{cases}x,&x>0\\-x,&x<0\end{cases}\]

Dessa forma, como temos a seguinte distribuição para o sinal da função cosseno:

\[0\leq x\leq\dfrac\pi2\Rightarrow\cos x\geq0\]

\[\dfrac\pi2\leq x\leq\pi\Rightarrow\cos x\leq 0\]

Dessa forma temos a seguinte definição para a função \(|\cos x|\):

\[|\cos x|=\begin{cases}\cos x,&0\leq x\leq\dfrac\pi2\\-\cos x,&\dfrac\pi2\leq x\leq\pi\end{cases}\]

Voltando à integral, temos:

\[I=\int_0^{\pi/2}|\cos x|dx+\int_{\pi/2}^{3\pi/4}|\cos x|dx\]

\[I=\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx-\int_{\pi/2}^{3\pi/4}\cos x\,dx\]

\[I=[\sin x]_0^{\pi/2}-[\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/4}\]

\[I=\sin\dfrac\pi2-\sin0-\sin \dfrac{3\pi}4+\sin\dfrac\pi2\]

\[I=1-0-\dfrac{\sqrt2}2+1\]

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Finalmente, temos:

\[\boxed{\int_0^{3\pi/4}|\cos x|dx=2-\dfrac{\sqrt2}2}\]