Volume de um paralelepípedo a partir de coordenadas, sabem ??

não sei

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Para calcular o volume de um paralelepípedo, podemos usar a seguinte expressão:

\[V=abc\sin\theta\cos\phi\]

Onde \(a\) e \(b\) são os lados da base, \(\theta\) é o ângulo entre eles, \(c\) é o terceiro lado que sai de um vértice da base e \(\phi\) é o ângulo entre a vertical e esse terceiro lado. Mas essa é também a fórmula do produto misto:

\[V=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\]

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É dado que os vetores \(\vec u\), \(\vec v\) e \(\vec w\) determinam um paralelepípedo de volume \(V\):

\[V=(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w\]

Sabe-se também que os vetores \(\vec u+\vec v\), \(5\vec v\) e \(3\vec w\) determinam um paralelepípedo de volume \(nV\). Vamos determinar o valor de \(n\). Vamos começar por escrever a expressão do volume desse novo paralelepípedo a través do produto misto:

\[nV=[(\vec u+\vec v)\times(5\vec v)]\cdot(3\vec w)\]

Usando a propriedade distributiva do produto vetorial, temos:

\[nV=[\vec u\times(5\vec v)+\vec v\times(5\vec v)]\cdot(3\vec w)\]

E a seguir a propriedade associativa com o produto escalar:

\[nV=(5\vec u\times\vec v+5\vec v\times\vec v)\cdot(3\vec w)\]

Mas o produto vetorial de um vetor por ele mesmo resulta no vetor nulo:

\[nV=(5\vec u\times\vec v)\cdot(3\vec w)\]

Novamente usando a propriedade associativa do produto escalar, temos:

\[nV=15(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w\]

Mas perceba que o produto misto restante nada mais é que o volume anterior:

\[nV=15V\]

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Finalmente:

\[\boxed{n=15}\]