CALCULO 1

Um bal˜ao de ar quente sobe verticalmente `a medida que uma corda, amarrada `a sua base , ´e liberada `a raz˜ao de 1m/min. O carretel que libera a corda est´a a 6, 5m da plataforma de embarque dos passageiros. A que taxa o bal˜ao est´a subindo quando tiverem sido liberados 150m de corda?

Cálculo I

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CEFET/RJ

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Gabriel Damasceno

13.04.2019

💡 5 Respostas

Gabriela Caprini

19.04.2019

resposta 1

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Andre Smaira

30.09.2019

Como o carretel que libera a corda está a uma certa distância do balão, conforme o balão sobe forma-se o seguinte triângulo retângulo, onde

\(x\)

é a distância entre a perpendicular do balão ao solo,

\(y\)

é altura do balão e

\(z\)

é a distância entre o balão e o carretel:

Autoria Própria

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Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos a relação ${x^2} + {y^2} = {z^2}$ . Derivando implicitamente em relação ao tempo, temos:

$\eqalign{ \dfrac{d}{{dt}}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) &= \dfrac{d}{{dt}}\left( {{z^2}} \right)\cr2x\dfrac{{dx}}{{dt}} + 2y\dfrac{{dy}}{{dt}} &= 2z\dfrac{{dz}}{{dt}}\crx\dfrac{{dx}}{{dt}} + y\dfrac{{dy}}{{dt}} &= z\dfrac{{dz}}{{dt}}{\text{ }}......\left( 1 \right) }$

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Do enunciado, temos que $x = 6,5{\text{ m}}$ , $\dfrac{{dx}}{{dt}} = 0$ , $z = 150{\text{ m}}$ e $\dfrac{{dz}}{{dt}} = 1{\text{ m/min}}$ . Quando o carretel tiver liberado 150 metros de corda, podemos determinar a altura do balão pela relação de Pitágoras:

$\eqalign{ {\left( {6,5} \right)^2} + {y^2} = {150^2} \cr {y^2} = 22.457,75 \cr y \cong 149,86{\text{ m}} }$

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Substituindo os dados obtidos na expressão $$(1)$$ , podemos encontrar a taxa de subida do balão $\dfrac{{dy}}{{dt}}$ :

$\eqalign{ 6,5 \cdot 0 + 149,86 \cdot \dfrac{{dy}}{{dt}} = 150 \cdot 1 \cr \dfrac{{dy}}{{dt}} \cong 1{\text{ m/min}} }$

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Portanto, a taxa de subida do balão é $\boxed{1{\text{ m/min}}}$ .

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