questão de calculo sobre continuidade

para sen x pequeno, pode se fazer a seguinte aproximação: sen(x)/x =1, pois sen x~x, logo para x=1 a função 

sen(x − 1) / (x − 1)~1.

β(x^2 − 1) / (x − 1)=1 decompondo x^2-1 como (x+1)*(x-1), temos que [(x+1)(x − 1)] / (x − 1) =x+1, e para ser continua temos que β(1+1)=1, logo β=1/2, e no ponto 2 = β(2+1)=3/2.

igualando agora γ(x^2 + 1) / (2x)=3/2 temos que  γ(4+1)/4=3/2,

γ=(3/2)/(5/4)=6/5.

boa pergunta

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Assim, para que a função seja contínua em \({x_0} = 1\), temos \(f\left( 1 \right) = \alpha\) e para os limites laterais:

\[\eqalign{ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\cr\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\beta \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}}\cr\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\beta \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\cos \left( {x - 1} \right)}}{1}\cr\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \beta \left( {x + 1} \right) &= 1\cr2\beta &= 1\cr\beta &= \dfrac{1}{2} }\]

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Do desenvolvimento anterior, temos que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}} = 1\) e, portanto, \(\alpha = 1\) para que \(f(x)\) seja contínua em \({x_0} = 1\).

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Finalmente, para ser contínua em \({x_0} = 2\), temos \(f\left( 2 \right) = \dfrac{{\gamma \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2x}}\) e para os limites laterais:

\[\eqalign{ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\cr\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\gamma \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2x}} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{\beta \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{x - 1}}\cr\dfrac{{5\gamma }}{4} &= 3\beta\cr\gamma &= \dfrac{{12\beta }}{5} }\]

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Como \(\beta = \dfrac{1}{2}\), temos que \(\gamma = \dfrac{6}{5}\). Deste modo, \(f\left( 2 \right) = \dfrac{3}{2}\).

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Portanto, temos que \(\boxed{\alpha = 1}\), \(\boxed{\beta = \dfrac{1}{2}}\) e \(\boxed{\gamma = \dfrac{6}{5}}\).