Se u + v + w = 0, j|«|| = 5, ||v|| = 6 e j|w|| = 7, calcule: a) u . v; b) u . w; c) v . w.

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Vamos usar as seguintes expressões para determinar o que se pede:

\[\begin{cases}u+v+w=0\\||u||=5\\||v||=6\\||w||=7\end{cases}\]

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a) Vamos calcular:

\[x=u\cdot v\]

Sabemos que:

\[u+v+w=0\Rightarrow u+v=-w\]

Elevando ao quadrado com a operação de produto escalar, temos:

\[(u+v)^2=w^2\]

\[u^2+2u\cdot v+v^2=w^2\]

Mas os quadrados dos vetores são numericamente iguais ao quadrado do módulo:

\[||u||^2+2u\cdot v+||v||^2=||w||^2\]

\[u\cdot v=\dfrac{||w||^2-||u||^2-||v||^2}{2}\]

\[u\cdot v=\dfrac{7^2-5^2-6^2}{2}\]

\[\boxed{u\cdot v=-6}\]

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b) Vamos calcular:

\[x=u\cdot w\]

De forma análoga ao item a), podemos chegar à seguinte expressão:

\[u\cdot w=\dfrac{||v||^2-||u||^2-||w||^2}{2}\]

\[u\cdot w=\dfrac{6^2-5^2-7^2}{2}\]

\[\boxed{u\cdot w=-19}\]

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c) Vamos calcular:

\[x=u\cdot w\]

De forma análoga ao item a), podemos chegar à seguinte expressão:

\[v\cdot w=\dfrac{||u||^2-||v||^2-||w||^2}{2}\]

\[v\cdot w=\dfrac{5^2-6^2-7^2}{2}\]

\[\boxed{v\cdot w=-30}\]

Fazendo o produto interno de z com u:

Usando a linearidade na primeira entrada do produto interno:

____________________

Fazendo o produto interno de z com v:

____________________

Fazendo o produto interno de z com w:

_____________________________________

Temos:

Como o produto interno é comutativo:

Somando as três equações:

Dividindo todos os membros por 2:

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