Ache a área da parte do parabolóide z=x^2+y^2 que está abaixo do plano z=9

uncuncun

Para a cálculo de área de superfícies, temos:

\(A=\int_D\sqrt{\left[{\partial z(x,y)\over \partial x}\right]^2+\left[{\partial z(x,y)\over \partial y}\right]^2+1}\ dxdy\)

Calculando as derivadas parciais, temos:

\({\partial z(x,y)\over \partial x}={\partial \over \partial x}(x^2+y^2)=2x\\ {\partial z(x,y)\over \partial y}={\partial \over \partial y}(x^2+y^2)=2y\\\)

Substituindo na expressão da integral, temos:

\(A=\int_D\sqrt{4x^2+4y^2+1}\ dxdy\)

Fazendo mudança de variáveis para coordenadas polares, lembrando que nosso sistema tem simetria por rotação, temos:

\(A=\int_D\sqrt{4r^2+1}\ 2\pi rdr=2\pi\int_D\sqrt{4r^2+1}\ rdr\)

Para delimitar nosso domínio, vamos determinar o limite onde \(z=9\):

\(x^2+y^2=9=3^2\Rightarrow 0<r<3\)

Integrando nesse domínio, temos:

\(A=2\pi\int_0^3\sqrt{4r^2+1}\ rdr\)

Fazendo \(u=4r^2+1\Rightarrow du=8rdr\), temos:

\(A=2\pi\int_1^{37}\sqrt{u}\ {1\over8}du\)

Reescrevendo o integrando, temos:

\(A={\pi\over4}\int_1^{37}u^{1/2}\ du={\pi\over4}\left[{2\over3}u^{3/2}\right]_1^{37}={\pi\over6}(37^{3/2}-1)\)

Temos, aproximadamente:

\(\boxed{A={\pi\over6}(37^{3/2}-1)\approx117,32}\)