Escreva as equações na forma geral e resolva. a) x² + 3 = 4x b) -20 = -x - x² c) 13 - 2x - 15 x² = 0 d) 4x² + 7x + 3 = 2x² + 2x e) x(x - 2) = 2(x + 6)

\[\Delta = {b^2} - 4ac\]

\[x = {{ - b \pm \sqrt \Delta } \over 2}\]

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A)

\[{x^2} + 3 = 4x \Leftrightarrow {x^2} + 3 - 4x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\]

\[\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\]

\[x = {{ - b \pm \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - 1 \pm \sqrt 4 } \over {2 \cdot 1}} = {{ - 1 \pm 2} \over 2} = \left\{ \matrix{ {x_1} = {{ - 1 + 2} \over 2} = {1 \over 2} \hfill \cr {x_2} = {{ - 1 - 2} \over 2} = {{ - 3} \over 2} \hfill } \right.\]

Resolvendo a equação \({x^2} + 3 = 4x\) obtemos que \(\boxed{x = {1 \over 2}}\) ou \(\boxed{x = {-3 \over 2}}\).

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B)

\[- 20 = - x - {x^2} \Leftrightarrow {x^2} + x - 20 = 0\]

\[\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( 1 \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 20} \right) = 1 + 80 = 81\]

\[x = {{ - b \pm \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - 1 \pm \sqrt {81} } \over {2 \cdot 1}} = {{ - 1 \pm 9} \over 2} = \left\{ \matrix{ {x_1} = {{ - 1 + 9} \over 2} = {8 \over 2} = 4 \hfill \cr {x_2} = {{ - 1 - 9} \over 2} = {{ - 10} \over 2} = - 5 \hfill } \right.\]

Resolvendo a equação \(- 20 = - x - {x^2}\) obtemos que \(\boxed{x=4}\) ou \(\boxed{x=-5}\).

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C)

\[13 - 2x - 15{x^2} = 0 \Leftrightarrow - 15{x^2} - 2x + 13 = 0\]

\[\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 2} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 15} \right) \cdot \left( {13} \right) = 4 + 780 = 784\]

\[x = {{ - b \pm \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - \left( { - 2} \right) \pm \sqrt {784} } \over {2 \cdot \left( { - 15} \right)}} = {{2 \pm 28} \over { - 30}} = \left\{ \matrix{ {x_1} = {{2 + 28} \over { - 30}} = {{30} \over { - 30}} = - 1 \hfill \cr {x_2} = {{2 - 28} \over { - 30}} = {{ - 26} \over { - 30}} = {{13} \over {15}} \hfill } \right.\]

Resolvendo a equação \(13 - 2x - 15{x^2} = 0\) obtemos \(\boxed{x = {-1}}\) ou \(\boxed{x = {{13} \over {15}}}\).

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D)

\[4{x^2} + 7x + 3 = 2{x^2} + 2x \Leftrightarrow 4{x^2} + 7x + 3 - 2{x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 3 = 0\]

\[\Delta = {b^2} - 4ac = {5^2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1\]

\[x = {{ - b \pm \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - 5 \pm \sqrt 1 } \over {2 \cdot 2}} = {{ - 5 \pm 1} \over 4} = \left\{ \matrix{ {x_1} = {{ - 5 + 1} \over 4} = {{ - 4} \over 4} = - 1 \hfill \cr {x_2} = {{ - 5 - 1} \over 4} = {{ - 6} \over 4} = {{ - 3} \over 2} \hfill } \right.\]

Resolvendo a equação \(4{x^2} + 7x + 3 = 2{x^2} + 2x\) obtemos \(\boxed{x = {-1}}\) ou \(\boxed{x = {{-3}\over {2}}}\).

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E)

\[x \cdot \left( {x - 2} \right) = 2 \cdot \left( {x + 6} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 2x + 6 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 6 = 0\]

\[\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 6} \right) = 16 + 24 = 40\]

\[x = {{ - b \pm \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - \left( { - 4} \right) \pm \sqrt {40} } \over {2 \cdot 1}} = {{4 \pm 20} \over 2} = \left\{ \matrix{ {x_1} = {{4 + 20} \over 2} = {{24} \over 2} = 12 \hfill \cr {x_2} = {{4 - 20} \over 2} = {{ - 16} \over 2} = - 8 \hfill } \right.\]

Resolvendo a equação \(x \cdot \left( {x - 2} \right) = 2 \cdot \left( {x + 6} \right)\) obtemos \(\boxed{x = {12}}\) ou \(\boxed{x = {-8}}\) .

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F)

\[x \cdot \left( {2x - 1} \right) + 6 = 4 \cdot \left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 6 = 4x + 4 \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 6 - 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = 0\]

\[\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\]

\[x = {{ - b \pm \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - \left( { - 5} \right) \pm \sqrt 9 } \over {2 \cdot 2}} = {{5 \pm 3} \over 4} = \left\{ \matrix{ {x_1} = {{5 + 3} \over 4} = {8 \over 4} = 2 \hfill \cr {x_2} = {{5 - 3} \over 4} = {2 \over 4} = {1 \over 2} \hfill } \right.\]

Resolvendo a equação \(x \cdot \left( {2x - 1} \right) + 6 = 4 \cdot \left( {x + 1} \right)\) obtemos \(\boxed{x = {2}}\) ou \(\boxed{x = {{1} \over {2}}}\).

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G)

\[\left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) = 6 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - x + 2 = 6 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 - 6 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0\]

\[\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 4} \right) = 9 + 16 = 25\]

\[x = {{ - b \pm \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - \left( { - 3} \right) \pm \sqrt {25} } \over {2 \cdot 1}} = {{3 \pm 5} \over 2} = \left\{ \matrix{ {x_1} = {{3 + 5} \over 2} = {8 \over 2} = 4 \hfill \cr {x_2} = {{3 - 5} \over 2} = {{ - 2} \over 2} = - 1 \hfill } \right.\]

Resolvendo a equação \(\left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) = 6\) obtemos \(\boxed{x=4}\) ou \(\boxed{x=-1}\).

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H)

\[\left( {2x - 3} \right) \cdot \left( {x - 8} \right) = 34 \Leftrightarrow 2{x^2} - 16x - 3x + 24 = 34 \Leftrightarrow 2{x^2} - 19x + 24 - 34 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 19x - 10 = 0\]

\[\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 19} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( { - 10} \right) = 361 + 80 = 441\]

\[x = {{ - b \pm \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - \left( { - 19} \right) \pm \sqrt {441} } \over {2 \cdot 2}} = {{19 \pm 21} \over 4} = \left\{ \matrix{ {x_1} = {{19 + 21} \over 4} = {{40} \over 4} = 10 \hfill \cr {x_2} = {{19 - 21} \over 4} = {{ - 2} \over 4} = {{ - 1} \over 2} \hfill } \right.\]

Resolvendo a equação \(\left( {2x - 3} \right) \cdot \left( {x - 8} \right) = 34\) obtemos \(\boxed{x=10}\) ou \(\boxed{x={{-1} \over {2}}}\).