Como calcular a tangente de 75°?

Vamos supor que o ângulo cuja tangente queremos determinar é \alpha. O lado do triângulo que está oposto a \alpha é denominado cateto oposto. Restam dois lados! Aquele que possuir maior comprimento é chamado de hipotenusa e, o que possuir menor comprimento é chamado de cateto adjacente.

Identificados os lados, como feito na imagem, podemos determinar a tangente, que é definida por:

\[\text{tan}(\alpha) = \dfrac{\text{CATETO OPOSTO}}{\text{CATETO ADJACENTE}}\]

Como não sabemos os lados do triângulo, precisamos utilizar a fórmula do arco duplo da tangente. Sabendo que \(75 = 45+30\), basta conhecermos as tangentes dos ângulos notáveis \((30^{\text{o}}, 45^{\text{o}}, 60^{\text{o}})\) para colocarmos na expressão abaixo:

\[\text{tang}(\alpha+\beta) = \dfrac{\text{tang}(\alpha)+\text{tang}{\beta}}{1-\text{tang}(\alpha)\cdot \text{tang}(\beta)}\]

Lembrando que:

\[\eqalign{&\text{tang}(30^{\text{o}}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\& \text{tang}(45^{\text{o}}) = 1 \\& \text{tang}(60^{\text{o}}) = \sqrt{3} \\}\]

Portanto, como temos \(\alpha = 45^{\text{o}\)} e \(\beta = 30^{\text{o}}\), ficamos com:

\[\text{tang}(45^{\text{o}}+ 30^{\text{o}}) = \dfrac{\text{tang}(45^{\text{o}})+\text{tang}{30^{\text{o}}}}{1-\text{tang}(45^{\text{o}})\cdot \text{tang}(30^{\text{o}})} = \dfrac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\]