Uma hipérbole tem excentricidade igual a 2. Calcular o ângulo entre as assíntotas.
Considere a hipérbole genérica de equação \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\).
As assíntotas possuem equações \(y = \frac{b}{a}x\) e \(y = -\frac{b}{a}x\).
Se a excentricidade é 2, temos:
\(\frac{c}{a} = 2 \\ \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} = 2 \\ \frac{a^2+b^2}{a^2} = 4 \\ b^2 = 3a^2 \\ b = \pm a\sqrt{3}\)
Substituindo qualquer um dos valores nas duas equações de assíntotas, obteremos:
\(y = \sqrt{3} x\) e \(y = -\sqrt{3} x\)
Da equação do ângulo entre duas retas, teremos:
\(tg \alpha = |\frac{\sqrt{3} - (-\sqrt{3})}{1 + (\sqrt{3})(-\sqrt{3})}| \\ tg \alpha = \sqrt{3} \\ \boxed{\alpha = 60° }\)
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Geometria Analítica
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