quero saber o cos²(x)-sen²(x)=1-tg²(x)/1+tg²(x)

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Afim de responder o exercício utilizaremos conhecimentos de trigonometria estudados na disciplina de matemática.

Primeiramente, verificamos que a questão já está, por si só, resolvida, isto é, \(co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{1 - tg\left( x \right)}}{{1 + tg\left( x \right)}}\). Dessa maneira, a expressão que está representada no exercício é verdadeira.

Podemos manipular um dos lados e reescrever a tangente, isto é, \(\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2}}}\) ou, colocando de uma maneira melhor, \(\dfrac{{ - {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2} + 1}}\).

Com isso, basta executarmos uma simplificação no termo reescrito. Então teremos \(= \dfrac{{{{\cos }^2}\left( x \right) - {{\sin }^2}\left( x \right)}}{{{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right)}}\). Como a parte do denominador é \({{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right)}\), sabemos que esse termo é igual a \(1\), isto é, \({{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right) = 1}\). Então, podemos concluir que .\(co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right)\)

Assim, retomando o exercício desde o início, temos:

\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{1 - tg\left( x \right)}}{{1 + tg\left( x \right)}}\]

\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2}}}\]

\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{ - {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2} + 1}}\]

\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{{{\cos }^2}\left( x \right) - {{\sin }^2}\left( x \right)}}{{{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right)}}\]

\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{{{\cos }^2}\left( x \right) - {{\sin }^2}\left( x \right)}}{1}\]

\[\boxed{co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right)}\]
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Portanto, o exercício já se inicia com uma afirmação verdadeira, isto é,
\[\boxed{co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right)}\]
. Tudo que temos que fazer é provar, como feito acima.