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quero saber o cos²(x)-sen²(x)=1-tg²(x)/1+tg²(x)


5 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para responder essa questão devemos colocar em prática nossos conhecimentos sobre Matemática.

---

Afim de responder o exercício utilizaremos conhecimentos de trigonometria estudados na disciplina de matemática.

Primeiramente, verificamos que a questão já está, por si só, resolvida, isto é, \(co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{1 - tg\left( x \right)}}{{1 + tg\left( x \right)}}\). Dessa maneira, a expressão que está representada no exercício é verdadeira.

Podemos manipular um dos lados e reescrever a tangente, isto é, \(\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2}}}\) ou, colocando de uma maneira melhor, \(\dfrac{{ - {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2} + 1}}\).

Com isso, basta executarmos uma simplificação no termo reescrito. Então teremos \(= \dfrac{{{{\cos }^2}\left( x \right) - {{\sin }^2}\left( x \right)}}{{{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right)}}\). Como a parte do denominador é \({{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right)}\), sabemos que esse termo é igual a \(1\), isto é, \({{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right) = 1}\). Então, podemos concluir que .\(co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right)\)

Assim, retomando o exercício desde o início, temos:


\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{1 - tg\left( x \right)}}{{1 + tg\left( x \right)}}\]


\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2}}}\]


\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{ - {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2} + 1}}\]


\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{{{\cos }^2}\left( x \right) - {{\sin }^2}\left( x \right)}}{{{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right)}}\]


\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{{{\cos }^2}\left( x \right) - {{\sin }^2}\left( x \right)}}{1}\]


\[\boxed{co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right)}\]
.

---

Portanto, o exercício já se inicia com uma afirmação verdadeira, isto é,
\[\boxed{co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right)}\]
. Tudo que temos que fazer é provar, como feito acima.

Para responder essa questão devemos colocar em prática nossos conhecimentos sobre Matemática.

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Afim de responder o exercício utilizaremos conhecimentos de trigonometria estudados na disciplina de matemática.

Primeiramente, verificamos que a questão já está, por si só, resolvida, isto é, \(co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{1 - tg\left( x \right)}}{{1 + tg\left( x \right)}}\). Dessa maneira, a expressão que está representada no exercício é verdadeira.

Podemos manipular um dos lados e reescrever a tangente, isto é, \(\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2}}}\) ou, colocando de uma maneira melhor, \(\dfrac{{ - {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2} + 1}}\).

Com isso, basta executarmos uma simplificação no termo reescrito. Então teremos \(= \dfrac{{{{\cos }^2}\left( x \right) - {{\sin }^2}\left( x \right)}}{{{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right)}}\). Como a parte do denominador é \({{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right)}\), sabemos que esse termo é igual a \(1\), isto é, \({{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right) = 1}\). Então, podemos concluir que .\(co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right)\)

Assim, retomando o exercício desde o início, temos:


\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{1 - tg\left( x \right)}}{{1 + tg\left( x \right)}}\]


\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2}}}\]


\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{ - {{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {\dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)}^2} + 1}}\]


\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{{{\cos }^2}\left( x \right) - {{\sin }^2}\left( x \right)}}{{{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right)}}\]


\[co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = \dfrac{{{{\cos }^2}\left( x \right) - {{\sin }^2}\left( x \right)}}{1}\]


\[\boxed{co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right)}\]
.

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Portanto, o exercício já se inicia com uma afirmação verdadeira, isto é,
\[\boxed{co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right) = co{s^2}\left( x \right) - se{n^2}\left( x \right)}\]
. Tudo que temos que fazer é provar, como feito acima.

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Cris San

Há mais de um mês

Não é uma igualadade.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas