10. As integrais duplas podem ser aplicadas em cálculos de área ou volume, dentre outras aplicações.

A resposta correta é 20.Para resoluções 81 9 9701 1759.

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Vamos calcular a seguinte integral:

\[I=\int_4^6\int_{-3}^7x-2y\,dydx\]

Antes de começar, vamos lembrar da regra do tombo invertida:

\[\int x^n=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\]

Primeiro vamos calcular a integral interna, em relação à variável \(y\):

\[I=\int_4^6\left[xy-y^2\right]_{-3}^7\,dx\]

\[I=\int_4^6\left[(7x-7^2)-(-3x-3^2)\right]\,dx\]

\[I=\int_4^6\left[(7x-49)-(-3x-9)\right]\,dx\]

\[I=\int_4^610x-40\,dx\]

Integrando agora em relação a \(x\), temos:

\[I=\left[5x^2-40x\right]_4^6\]

\[I=\left[(5\cdot6^2-40\cdot6)-(5\cdot4^2-40\cdot4)\right]\]

\[I=\left[(5\cdot36-40\cdot6)-(5\cdot16-40\cdot4)\right]\]

\[I=\left[(180-240)-(80-160)\right]\]

\[I=-60-(-80)\]

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Finalmente temos a alternativa A como correta:

\[\boxed{\int_4^6\int_{-3}^7x-2y\,dydx=20}\]