A maior rede de estudos do Brasil

encontre o comprimento de arco do caminho r(t)=(t²,t³,0) entre t=0 e t=2.


5 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

User badge image

RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para calcular o comprimento de arco de um dado caminho.

----

Tem-se uma função \(y(x)\) contínua no intervalo \(a \le x \le b\). Com isso, o comprimento \(L\) do arco no intervalo \(a \le x \le b\) é calculado pela seguinte integral:


\[L=\int_a^b \sqrt{1+[y'(x)]^2} \partial x \,\,\,\,\, (I)\]

----

O enunciado fornece o caminho \(r(t)=(t^2, t^3, 0)\). Considerando \(x=t^2\), \(y=t^3\) e \(z=0\), a função \(y(x)\) é:


\[\begin{align} t&=t \\ \sqrt[3]{y} &=\sqrt{x} \\ (\sqrt[3]{y})^3 &=(\sqrt{x})^3 \\ y &=x^{3\over 2} \\ \end{align}\]

----

Portanto, a derivada \(y’(x)\) é:


\[\begin{align} y'(x)&= {\partial y \over \partial x} \\ &= {\partial \over \partial x}(x^{3 \over 2}) \\ &= {3 \over 2}x^{{3 \over 2}-1} \\ &= {3 \over 2}x^{{1 \over 2}} \,\,\,\,\, (II) \end{align}\]

----

Além disso, o enunciado fornece o intervalo \(0 \le t \le 2\). Como foi estipulado anteriormente que \(x=t^2\), o intervalo \(a \le x \le b\) é:


\[\begin{align} 0 \le t \le 2 \\ 0 \le \sqrt{x} \le 2 \\ 0^2 \le x \le 2^2 \\ 0 \le x \le 4 \\ \end{align}\]

Ou seja, \(a=0\) e \(b=4\).

----

Retornando à integral da equação \((I)\), a equação de \(L\) fica da seguinte forma:


\[\begin{align} L&=\int_a^b \sqrt{1+[y'(x)]^2} \partial x \\ &=\int_0^4 \sqrt{1+\bigg[{3 \over 2}x^{{1 \over 2}} \bigg]^2} \partial x \\ &=\int_0^4 \sqrt{1+ {9 \over 4}x} \,\partial x \,\,\,\,\, (III) \end{align}\]

---

Realizando a substituição \(u=1+{9 \over 4}x\), tem-se \(\partial u = {9 \over 4} \partial x\), ou seja:


\[\partial x = {4 \over 9}\partial u \,\,\,\,\, (IV)\]

----

Com isso, a equação \((III)\) fica da seguinte forma:


\[\begin{align} L&=\int_0^4 {\bigg(1+ {9 \over 4}x} \bigg)^{1 \over 2} \,\partial x \\ &=\int_0^4 {u}^{1 \over 2} \cdot {4 \over 9}\partial u \\ &={4 \over 9}\int_0^4 {u}^{1 \over 2}\partial u \\ &={4 \over 9} {u^{3 \over 2} \over 3/2} \bigg|_0^4 \\ &={4 \over 9}\cdot {2 \over 3} u^{3 \over 2} \bigg|_0^4 \end{align}\]

---

Retornando à variável \(x\), o valor de \(L\) é:


\[\begin{align} L&={4 \over 9}\cdot {2 \over 3} u^{3 \over 2} \bigg|_0^4 \\ &={8 \over27} \cdot \bigg( 1 +{9 \over 4}x \bigg)^{3 \over 2} \bigg|_0^4 \\ &={8 \over27} \cdot \Bigg[ \bigg( 1 +{9 \over 4}\cdot 4 \bigg)^{3 \over 2}-\bigg( 1 +{9 \over 4}\cdot 0 \bigg)^{3 \over 2} \Bigg ] \\ &={8 \over27} \cdot \Big[ \big( 1 +9 \big)^{3 \over 2}-\big( 1 +0 \big)^{3 \over 2} \Big ] \\ &={8 \over27} \cdot \Big[ \big( 10\big)^{3 \over 2}-\big( 1 \big)^{3 \over 2} \Big ] \\ &={8 \over27} \cdot \Big[ 30,623 \Big ] \\ &= 9,073 \end{align}\]

----

Concluindo, considerando o caminho \(r(t)=(t^2,t^3,0)\) entre \(t=0\) e \(t=2\), o comprimento de arco é, aproximadamente, \(\boxed{9,073}\) unidades.

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para calcular o comprimento de arco de um dado caminho.

----

Tem-se uma função \(y(x)\) contínua no intervalo \(a \le x \le b\). Com isso, o comprimento \(L\) do arco no intervalo \(a \le x \le b\) é calculado pela seguinte integral:


\[L=\int_a^b \sqrt{1+[y'(x)]^2} \partial x \,\,\,\,\, (I)\]

----

O enunciado fornece o caminho \(r(t)=(t^2, t^3, 0)\). Considerando \(x=t^2\), \(y=t^3\) e \(z=0\), a função \(y(x)\) é:


\[\begin{align} t&=t \\ \sqrt[3]{y} &=\sqrt{x} \\ (\sqrt[3]{y})^3 &=(\sqrt{x})^3 \\ y &=x^{3\over 2} \\ \end{align}\]

----

Portanto, a derivada \(y’(x)\) é:


\[\begin{align} y'(x)&= {\partial y \over \partial x} \\ &= {\partial \over \partial x}(x^{3 \over 2}) \\ &= {3 \over 2}x^{{3 \over 2}-1} \\ &= {3 \over 2}x^{{1 \over 2}} \,\,\,\,\, (II) \end{align}\]

----

Além disso, o enunciado fornece o intervalo \(0 \le t \le 2\). Como foi estipulado anteriormente que \(x=t^2\), o intervalo \(a \le x \le b\) é:


\[\begin{align} 0 \le t \le 2 \\ 0 \le \sqrt{x} \le 2 \\ 0^2 \le x \le 2^2 \\ 0 \le x \le 4 \\ \end{align}\]

Ou seja, \(a=0\) e \(b=4\).

----

Retornando à integral da equação \((I)\), a equação de \(L\) fica da seguinte forma:


\[\begin{align} L&=\int_a^b \sqrt{1+[y'(x)]^2} \partial x \\ &=\int_0^4 \sqrt{1+\bigg[{3 \over 2}x^{{1 \over 2}} \bigg]^2} \partial x \\ &=\int_0^4 \sqrt{1+ {9 \over 4}x} \,\partial x \,\,\,\,\, (III) \end{align}\]

---

Realizando a substituição \(u=1+{9 \over 4}x\), tem-se \(\partial u = {9 \over 4} \partial x\), ou seja:


\[\partial x = {4 \over 9}\partial u \,\,\,\,\, (IV)\]

----

Com isso, a equação \((III)\) fica da seguinte forma:


\[\begin{align} L&=\int_0^4 {\bigg(1+ {9 \over 4}x} \bigg)^{1 \over 2} \,\partial x \\ &=\int_0^4 {u}^{1 \over 2} \cdot {4 \over 9}\partial u \\ &={4 \over 9}\int_0^4 {u}^{1 \over 2}\partial u \\ &={4 \over 9} {u^{3 \over 2} \over 3/2} \bigg|_0^4 \\ &={4 \over 9}\cdot {2 \over 3} u^{3 \over 2} \bigg|_0^4 \end{align}\]

---

Retornando à variável \(x\), o valor de \(L\) é:


\[\begin{align} L&={4 \over 9}\cdot {2 \over 3} u^{3 \over 2} \bigg|_0^4 \\ &={8 \over27} \cdot \bigg( 1 +{9 \over 4}x \bigg)^{3 \over 2} \bigg|_0^4 \\ &={8 \over27} \cdot \Bigg[ \bigg( 1 +{9 \over 4}\cdot 4 \bigg)^{3 \over 2}-\bigg( 1 +{9 \over 4}\cdot 0 \bigg)^{3 \over 2} \Bigg ] \\ &={8 \over27} \cdot \Big[ \big( 1 +9 \big)^{3 \over 2}-\big( 1 +0 \big)^{3 \over 2} \Big ] \\ &={8 \over27} \cdot \Big[ \big( 10\big)^{3 \over 2}-\big( 1 \big)^{3 \over 2} \Big ] \\ &={8 \over27} \cdot \Big[ 30,623 \Big ] \\ &= 9,073 \end{align}\]

----

Concluindo, considerando o caminho \(r(t)=(t^2,t^3,0)\) entre \(t=0\) e \(t=2\), o comprimento de arco é, aproximadamente, \(\boxed{9,073}\) unidades.

User badge image

Jeferson Correia

Há mais de um mês

 Para mais questões, pode entrar em contato que combinamos. 81 9 9701 1759

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas