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Cálculo Diferencial e Integral II

Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da
Região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:

 

y = ln x, y = -1, y = 2 e x = 0

Cálculo II

UNIVERSO


6 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Nesse exercício vamos estudar sólidos de revolução.

---

Para cada casca cilíndrica, temos:


\[dV=2\pi xdxdy\]

Integrando em relação a \(x\), temos:


\[V=\int_{-1}^2\int_0^{x(y)}2\pi x\,dxdy\]


\[V=2\pi \int_{-1}^2\int_0^{e^y}x\,dxdy\]


\[V=2\pi \int_{-1}^2\left[\dfrac12x^2\right]_0^{e^y}\,dy\]


\[V=2\pi \int_{-1}^2\left[\dfrac12\cdot(e^y)^2-\dfrac12\cdot0^2\right]\,dy\]


\[V=2\pi \int_{-1}^2\left[\dfrac12e^{2y}-0\right]\,dy\]


\[V=\pi \int_{-1}^2e^{2y}\,dy\]

Integrando em relação a \(y\), temos:


\[V=\dfrac12\pi [e^{2y}]_{-1}^2\]


\[V=\dfrac12\pi [e^{2\cdot2}-e^{2\cdot(-1)}]\]


\[V=\dfrac12\pi [e^4-e^{-2}]\]


\[V=\pi e\dfrac{e^3-e^{-3}}2\]

Lembre-se da expressão do seno hiperbólico:


\[\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2\]

---

Dessa forma temos:


\[\boxed{V=\pi e\sinh3\approx85,55}\]

Nesse exercício vamos estudar sólidos de revolução.

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Para cada casca cilíndrica, temos:


\[dV=2\pi xdxdy\]

Integrando em relação a \(x\), temos:


\[V=\int_{-1}^2\int_0^{x(y)}2\pi x\,dxdy\]


\[V=2\pi \int_{-1}^2\int_0^{e^y}x\,dxdy\]


\[V=2\pi \int_{-1}^2\left[\dfrac12x^2\right]_0^{e^y}\,dy\]


\[V=2\pi \int_{-1}^2\left[\dfrac12\cdot(e^y)^2-\dfrac12\cdot0^2\right]\,dy\]


\[V=2\pi \int_{-1}^2\left[\dfrac12e^{2y}-0\right]\,dy\]


\[V=\pi \int_{-1}^2e^{2y}\,dy\]

Integrando em relação a \(y\), temos:


\[V=\dfrac12\pi [e^{2y}]_{-1}^2\]


\[V=\dfrac12\pi [e^{2\cdot2}-e^{2\cdot(-1)}]\]


\[V=\dfrac12\pi [e^4-e^{-2}]\]


\[V=\pi e\dfrac{e^3-e^{-3}}2\]

Lembre-se da expressão do seno hiperbólico:


\[\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2\]

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Dessa forma temos:


\[\boxed{V=\pi e\sinh3\approx85,55}\]

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Higor Porto Rodrigues

Há mais de um mês

Talvez você consiga resolver no mathway, uma calculadora online muito boa.
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Jeferson Correia

Há mais de um mês

Não estou conseguindo enviar a imagem. Entrar em contato 81 99701 1759

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas