Cálculo Diferencial e Integral II
Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da
Região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
y = ln x, y = -1, y = 2 e x = 0
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RD Resoluções 
Há mais de um mês
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Para cada casca cilíndrica, temos:
\[dV=2\pi xdxdy\]
Integrando em relação a \(x\), temos:
\[V=\int_{-1}^2\int_0^{x(y)}2\pi x\,dxdy\]
\[V=2\pi \int_{-1}^2\int_0^{e^y}x\,dxdy\]
\[V=2\pi \int_{-1}^2\left[\dfrac12x^2\right]_0^{e^y}\,dy\]
\[V=2\pi \int_{-1}^2\left[\dfrac12\cdot(e^y)^2-\dfrac12\cdot0^2\right]\,dy\]
\[V=2\pi \int_{-1}^2\left[\dfrac12e^{2y}-0\right]\,dy\]
\[V=\pi \int_{-1}^2e^{2y}\,dy\]
Integrando em relação a \(y\), temos:
\[V=\dfrac12\pi [e^{2y}]_{-1}^2\]
\[V=\dfrac12\pi [e^{2\cdot2}-e^{2\cdot(-1)}]\]
\[V=\dfrac12\pi [e^4-e^{-2}]\]
\[V=\pi e\dfrac{e^3-e^{-3}}2\]
Lembre-se da expressão do seno hiperbólico:
\[\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2\]
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Dessa forma temos:
\[\boxed{V=\pi e\sinh3\approx85,55}\]
Higor Porto Rodrigues
Há mais de um mês
Jeferson Correia
Há mais de um mês
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