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Defina f(0,0) de maneira que f se estenda a uma função continua na origem. a) f(x,y)=ln(3x^2-x^2y^2+3y^2/x^2+y^2)

Continuidade


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Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para calcular o valor de \(f(0,0)\) uma função em \(\mathbb{R^3}\). Essa função está apresentada a seguir:


\[f(x,y)=\ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg)\]

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Portanto, o valor de \(f(0,0)\) é definido pelo seguinte limite:


\[f(0,0)=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg)\]

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Há mais de um forma de resolver este exercício:

  1. Aproximação pela reta \(x=0\): uma forma de resolver esse problema é realizando a aproximação do ponto \((0,0)\) através da reta \(x=0\). Com isso, o valor de \(f(0,0)\) é:

  2. \[\begin{align} f(0,0)&=\lim_{x=0 \\y \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg({3\cdot 0^2-0^2y^2+3y^2 \over 0^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg({3y^2 \over y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg(3 \Bigg) \\ &= \ln 3 \,\,\,\, (I) \end{align}\]

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    1. Aproximação pela reta \(y=0\): outra forma de resolver esse problema é realizando a aproximação do ponto \((0,0)\) através da reta \(y=0\). Com isso, o valor de \(f(0,0)\) é:

    2. \[\begin{align} f(0,0)&=\lim_{y=0 \\x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2\cdot 0^2+3\cdot 0^2 \over x^2+0^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2 \over x^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg(3 \Bigg) \\ &= \ln 3 \,\,\,\,(II) \end{align}\]

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      1. Aproximação pela reta \(y=x\): outra forma de resolver esse problema é realizando a aproximação do ponto \((0,0)\) através da reta \(y=x\). Com isso, o valor de \(f(0,0)\) é:

      2. \[\begin{align} f(0,0)&=\lim_{y=x \\x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2x^2+3 x^2 \over x^2+x^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({6x^2-x^4 \over 2x^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({6-x^2 \over 2} \Bigg) \\ &=\ln \Bigg({6-0^2 \over 2} \Bigg) \\ &= \ln 3 \,\,\,\,(III) \end{align}\]

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        Como os valores das equações \((I)\), \((II)\) e \((III)\) são iguais, tem-se que a função \(f(x,y)\) de fato é contínua na origem.

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        Concluindo, considerando a função \(f(x,y)=\ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg)\), o valor de \(f(0,0)\) é:


        \[\boxed{f(0,0)=\ln 3 \approx 1,10 }\]

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para calcular o valor de \(f(0,0)\) uma função em \(\mathbb{R^3}\). Essa função está apresentada a seguir:


\[f(x,y)=\ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg)\]

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Portanto, o valor de \(f(0,0)\) é definido pelo seguinte limite:


\[f(0,0)=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg)\]

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Há mais de um forma de resolver este exercício:

  1. Aproximação pela reta \(x=0\): uma forma de resolver esse problema é realizando a aproximação do ponto \((0,0)\) através da reta \(x=0\). Com isso, o valor de \(f(0,0)\) é:

  2. \[\begin{align} f(0,0)&=\lim_{x=0 \\y \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg({3\cdot 0^2-0^2y^2+3y^2 \over 0^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg({3y^2 \over y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg(3 \Bigg) \\ &= \ln 3 \,\,\,\, (I) \end{align}\]

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    1. Aproximação pela reta \(y=0\): outra forma de resolver esse problema é realizando a aproximação do ponto \((0,0)\) através da reta \(y=0\). Com isso, o valor de \(f(0,0)\) é:

    2. \[\begin{align} f(0,0)&=\lim_{y=0 \\x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2\cdot 0^2+3\cdot 0^2 \over x^2+0^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2 \over x^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg(3 \Bigg) \\ &= \ln 3 \,\,\,\,(II) \end{align}\]

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      1. Aproximação pela reta \(y=x\): outra forma de resolver esse problema é realizando a aproximação do ponto \((0,0)\) através da reta \(y=x\). Com isso, o valor de \(f(0,0)\) é:

      2. \[\begin{align} f(0,0)&=\lim_{y=x \\x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2x^2+3 x^2 \over x^2+x^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({6x^2-x^4 \over 2x^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({6-x^2 \over 2} \Bigg) \\ &=\ln \Bigg({6-0^2 \over 2} \Bigg) \\ &= \ln 3 \,\,\,\,(III) \end{align}\]

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        Como os valores das equações \((I)\), \((II)\) e \((III)\) são iguais, tem-se que a função \(f(x,y)\) de fato é contínua na origem.

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        Concluindo, considerando a função \(f(x,y)=\ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg)\), o valor de \(f(0,0)\) é:


        \[\boxed{f(0,0)=\ln 3 \approx 1,10 }\]

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