Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para calcular o valor de $f(0,0)$ uma função em $\mathbb{R^3}$. Essa função está apresentada a seguir:\[f(x,y)=\ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg)\]----Portanto, o valor de $f(0,0)$ é definido pelo seguinte limite:\[f(0,0)=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg)\]----Há mais de um forma de resolver este exercício:Aproximação pela reta $x=0$: uma forma de resolver esse problema é realizando a aproximação do ponto $(0,0)$ através da reta $x=0$. Com isso, o valor de $f(0,0)$ é:\[\begin{align} f(0,0)&=\lim_{x=0 \\y \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg({3\cdot 0^2-0^2y^2+3y^2 \over 0^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg({3y^2 \over y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg(3 \Bigg) \\ &= \ln 3 \,\,\,\, (I) \end{align}\]----Aproximação pela reta $y=0$: outra forma de resolver esse problema é realizando a aproximação do ponto $(0,0)$ através da reta $y=0$. Com isso, o valor de $f(0,0)$ é:\[\begin{align} f(0,0)&=\lim_{y=0 \\x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2\cdot 0^2+3\cdot 0^2 \over x^2+0^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2 \over x^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg(3 \Bigg) \\ &= \ln 3 \,\,\,\,(II) \end{align}\]---Aproximação pela reta $y=x$: outra forma de resolver esse problema é realizando a aproximação do ponto $(0,0)$ através da reta $y=x$. Com isso, o valor de $f(0,0)$ é:\[\begin{align} f(0,0)&=\lim_{y=x \\x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2x^2+3 x^2 \over x^2+x^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({6x^2-x^4 \over 2x^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({6-x^2 \over 2} \Bigg) \\ &=\ln \Bigg({6-0^2 \over 2} \Bigg) \\ &= \ln 3 \,\,\,\,(III) \end{align}\]----Como os valores das equações $(I)$, $(II)$ e $(III)$ são iguais, tem-se que a função $f(x,y)$ de fato é contínua na origem.----Concluindo, considerando a função $f(x,y)=\ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg)$, o valor de $f(0,0)$ é:\[\boxed{f(0,0)=\ln 3 \approx 1,10 }\]

Defina f(0,0) de maneira que f se estenda a uma função continua na origem. a) f(x,y)=ln(3x^2-x^2y^2+3y^2/x^2+y^2)

Continuidade

Cálculo III

•

UEMA

A caminho sucesso

30.04.2019

💡 5 Respostas

Adryan Lucas Schmitz e Silva

01.05.2019

dgd

Andre Smaira

30.09.2019

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos adquiridos para calcular o valor de

\(f(0,0)\)

uma função em

\mathbb{R^3}

. Essa função está apresentada a seguir:

$f(x,y)=\ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg)$

----

Portanto, o valor de $$f(0,0)$$ é definido pelo seguinte limite:

$f(0,0)=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg)$

----

Há mais de um forma de resolver este exercício:

Aproximação pela reta $$x=0$$ : uma forma de resolver esse problema é realizando a aproximação do ponto $$(0,0)$$ através da reta $$x=0$$ . Com isso, o valor de $$f(0,0)$$ é:

$\begin{align} f(0,0)&=\lim_{x=0 \\y \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg({3\cdot 0^2-0^2y^2+3y^2 \over 0^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg({3y^2 \over y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg(3 \Bigg) \\ &= \ln 3 \,\,\,\, (I) \end{align}$

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Aproximação pela reta $$y=0$$ : outra forma de resolver esse problema é realizando a aproximação do ponto $$(0,0)$$ através da reta $$y=0$$ . Com isso, o valor de $$f(0,0)$$ é:

$\begin{align} f(0,0)&=\lim_{y=0 \\x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2\cdot 0^2+3\cdot 0^2 \over x^2+0^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2 \over x^2} \Bigg) \\ &=\lim_{y \to 0} \, \ln \Bigg(3 \Bigg) \\ &= \ln 3 \,\,\,\,(II) \end{align}$

---

Aproximação pela reta $$y=x$$ : outra forma de resolver esse problema é realizando a aproximação do ponto $$(0,0)$$ através da reta $$y=x$$ . Com isso, o valor de $$f(0,0)$$ é:

$\begin{align} f(0,0)&=\lim_{y=x \\x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({3x^2-x^2x^2+3 x^2 \over x^2+x^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({6x^2-x^4 \over 2x^2} \Bigg) \\ &=\lim_{x \to 0} \, \ln \Bigg({6-x^2 \over 2} \Bigg) \\ &=\ln \Bigg({6-0^2 \over 2} \Bigg) \\ &= \ln 3 \,\,\,\,(III) \end{align}$

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Como os valores das equações $$(I)$$ , $$(II)$$ e $$(III)$$ são iguais, tem-se que a função $$f(x,y)$$ de fato é contínua na origem.

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Concluindo, considerando a função $f(x,y)=\ln \Bigg({3x^2-x^2y^2+3y^2 \over x^2+y^2} \Bigg)$ , o valor de $$f(0,0)$$ é:

$\boxed{f(0,0)=\ln 3 \approx 1,10 }$