Se eu derivar duas vezes uma equação quadrática que me forneça a distancia eu irei obter a aceleração?

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A derivada nada mas é que o cálculo da variação instantânea de uma grandeza em relação a uma variável, ou, em outras palavras, a variação média da grandeza quando a variação da variável tende a zero, isto é:

\[\dfrac{dx}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\to0}v_{m}(t\to t+\Delta t)=v(t)\]

Isto é, derivar a posição em relação ao tempo nos dá a velocidade. Da mesma forma e com explicação análoga, derivar a velocidade em relação ao tempo nos dá a aceleração.

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Particularmente para o caso do movimento uniformemente variado (MUV), em que a função posição é quadrática, temos:

\[x(t)=x_0+v_0t+\dfrac12at^2\]

Derivando, temos:

\[v(t)=\dfrac{dx}{dt}=0+v_0+2\cdot\dfrac12at\]

\[v(t)=v_0+at\]

Que é justamente a expressão para a função horária da velocidade. Derivando novamente, temos:

\[a(t)=\dfrac{dv}{dt}=0+a\]

\[a(t)=a\]

Ou seja, a aceleração é constante, que é justamente o que dá nome a esse tipo de movimento.