Seja uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por y' + 2y = e2x . Se para x =0, y = 4, determine a solução desta EDO. Dado que y' = dy/dx

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\[y'+2y=e^{2x}\]

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O exercício será dividido em três partes: solução homogênea, solução particular e solução completa.

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1. Solução homogênea (\(y_h\)): a equação homogênea está apresentada a seguir:


\[y_h'+2y_h=0\]


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Considerando a solução geral \(y_h=ke^{\lambda x}\) (\(k\) e \(\lambda\) constantes), a equação homogênea fica da seguinte forma:


\[\begin{align} y_h'+2y_h&=0 \\ (ke^{\lambda x})'+2(ke^{\lambda x})&=0 \\ \lambda ke^{\lambda x}+2ke^{\lambda x}&=0 \\ \end{align}\]


Eliminando \(ke^{\lambda x}\), o valor de \(\lambda\) é:


\[\begin{align} \lambda+2&=0 \\ \lambda &= -2 \end{align}\]


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Portanto, a solução homogênea é:


\[y_h=ke^{-2 x} \,\,\,\,\, (I)\]


O valor de \(k\) será encontrado mais adiante.

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1. Solução particular (\(y_p\)): a equação particular está apresentada a seguir:


\[y_p'+2y_p=e^{2x}\]


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Considerando a solução geral \(y_p=Ae^{2 x}\) (\(A\) constante), a equação particular fica da seguinte forma:


\[\begin{align} y_p'+2y_p&=e^{2x} \\ (Ae^{2 x})'+2(Ae^{2x})&=e^{2x} \\ 2Ae^{2 x}+2Ae^{2x}&=e^{2x} \\ 4Ae^{2x}&=e^{2x} \\ \end{align}\]


Portanto, o valor de \(A\) é:


\[\begin{align} 4Ae^{2x}&=e^{2x} \\ 4A&=1 \\ A&={1 \over 4} \end{align}\]


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Portanto, a solução particular é:


\[y_p={1 \over 4}e^{2 x} \,\,\,\,\, (II)\]


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1. Solução completa: sendo \(y\) a solução da EDO inicial, sua equação é a soma das equações \((I)\) e \((II)\). Ou seja:


\[\begin{align} y&=y_h+y_p \\ &=ke^{-2 x}+{1 \over 4}e^{2 x} \,\,\,\,\, (III) \end{align}\]


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Agora, resta calcular o valor de \(k\) com base na condição dada pelo enunciado. Essa condição é \(y=4\) para \(x=0\). Portanto, substituindo \(x=0\) na equação \((III)\), o valor de \(k\) é:


\[\begin{align} y&=ke^{-2 x}+{1 \over 4}e^{2 x} \\ 4&=ke^{-2 \cdot 0}+{1 \over 4}e^{2 \cdot 0} \\ 4&=k+{1 \over 4} \\ k&=4-{1 \over 4} \\ &={15 \over 4} \end{align}\]


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Finalmente, a solução da equação \((III)\) fica da seguinte forma:


\[\begin{align} y&={15 \over 4}e^{-2 x}+{1 \over 4}e^{2 x} \end{align}\]


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Concluindo, a solução da EDO \(y'+2y=e^{2x}\) é:


\[\boxed{y={15 \over 4}e^{-2 x}+{1 \over 4}e^{2 x}}\]